崔笑笑,程志波,姚绍文

( 河南理工大学数学与信息科学学院,河南 焦作454000)

1.引言

作为一个简化模型出现在科学和工程的许多领域,由于它可以用来模拟振荡电路或者简单的钟摆运动,在20世纪上半叶,人们对它进行了深入的研究.例如,Van der Pol 振荡器

的周期解的存在性,其中自治函数g(x)满足半线性条件

证明了方程(1.3)存在一个周期解.

其中ϕp(s)=|s|p−2s,p ≥2是常数,f,g ∈C(R×R,R)是关于第一个变量t的T-周期函数,e(t)∈C(R,R)是一个T-周期函数.利用Mansevich-Mawhin连续定理,我们给出了下面的结论.

定理1.1假设下列条件成立:

(H1) 存在正常数a和b,使得对一切(t,x)∈[0,T]×R,有0<|f(t,x)|≤a|x|p−2+b;

(H2) 存在正常数D,使得对一切(t,x)∈[0,T]×(D,+∞),有g(t,x)−e(t)<0,并且对一切(t,x)∈[0,T]×(−∞,0],有g(t,x)−e(t)>0.则方程(1.4)在下列一种条件下至少有一个T-周期正解,

(I)p=2,且

(II)p>2,且

注1.1本文与文[4]有很大的不同.方程(1.2) 中自治函数g(x)满足半线性条件,而方程(1.4)中非自治函数g(t,x)仅仅只需要满足条件(H2),这也就是说,g可以满足次线性条件,半线性条件和超线性条件.因此本文的结论改进和扩展了文[4]的结论.

注1.2与方程(1.3)相比,方程(1.4)中的摩擦系数由f(x)变为了f(t,x),摩擦项的积分在估计方程周期解的先验界时难度大大增加,所以文[7]中的方法不再适用,这就要求我们需要寻找其他方法克服这一困难.在这里还需要特别说明的是,当f(t,x(t))≡f(x(t))时,方程(1.4)转化成了方程(1.3),文[7]是本文的一个特例.

作为定理1.1的应用,我们能得到下面的推论.

推论1.1假设条件(H2)成立,方程(1.3)至少有一个T-周期正解.

注1.3本文证明的是方程(1.4)周期正解的存在性,而文[4,7]中仅仅证明的是周期解的存在性,因此本文是对文[4,7]进一步的深入研究.

随后……