孙 晴，谢小平

（湖南大学 汽车车身先进设计制造国家重点实验室,长沙410082）

摆振现象广泛存在于飞机的起落架以及车辆系统中，自1920年以来一直是机械动力学的研究热点和难点，问题未能得到根本上的解决。摆振会造成汽车直线行驶能力下降，甚至出现蛇行，一方面对行车安全产生威胁，另一方面会加剧磨损，降低相关零件寿命，对汽车的操稳性、平顺性、动力性、燃油经济性和安全性都有一定危害。

根据激励源不同，摆振分为强迫型摆振和自激型摆振。从能量角度理解，自激振动吸收系统外界恒定能源补充能量，并靠自身的运动状态反馈调节能量输入，以维持不衰减的持续振动[1]。当系统中负阻尼对系统的能量输入大于固有的正阻尼对能量的消耗，系统的当量阻尼为负值，表现为自激型摆振。

国内外学者对车轮摆振的研究做出了大量的基础理论研究工作。Pacejka等[2]通过提出极限环理论从非线性角度分析摆振影响因素。John Stuart 等[3]通过仿真分析得出轮胎的动不平衡是摆振的主要激励源，主销后倾角及轮胎特性则对摆振振幅有放大作用。国内，杨树凯等[4]通过仿真分析从轮胎-路面系统的负阻尼特性阐述前轮摆振发生的机理。魏道高等[5]通过建立简化动力学系统模型，研究了主销后倾角对自激摆振极限环特性的影响。张磊等[6]研究了转向系间隙大小对前轮自激摆振幅度的影响。王威等[7]对汽车转向系与前悬架的耦合动力学进行研究，研究中发现，悬架的弹簧刚度与减振器的阻尼系数对前轮自激摆振有一定影响。李中好等[8]建立双横臂独立悬架样机模型，量化分析了陀螺力矩对前轮摆振的影响。

已有的汽车自激摆振研究集中于轮胎特性，转向系参数以及车轮定位参数等，关于悬架参数尤其是衬套参数对汽车摆振影响的研究较少。因此，本文基于某国产乘用车模型，建立精细ADAMS 虚拟样车模型，基于多体动力学再现自激摆振现象。主要从悬架参数方面仿真分析样车自激摆振，且运用Hopf 分岔理论分析该样车摆振现象。绘制了不同悬架参数对应摆角幅值图以及速度分岔图，并分析了各参数对摆振的影响。最后对摆振幅值影响较大的参数进行优化设计，有效降低了摆振幅值，提高摆振速度区间下限，为样车的初期设计提供依据。

1 多体动力学方程与Hopf分岔理论

1.1 多体动力学方程

针对非线性多体动力学问题，ADAMS 依据牛顿定理，给出自由物体的变分方程，再采用拉格朗日乘子法，建立基于约束的系统多体动力学方程

完整约束方程

非完整约束方程

其中：T为系统动能，q为广义坐标列阵，Q为广义力列阵，ρ对应完整约束的拉式乘子列阵，μ对于非完整约束的拉式乘子列阵。

对于建立的动力学微分-代数方程，ADAMS 根据不同情况设置了不同的求解器。考虑到本文是对于角位移的求解，选择对位移求解精度更高的刚性、多步、变阶、变步长的GSTIFF 积分器和I3 积分格式，仿真步长在保证求解精度的基础上设为0.01 s。

1.2 Hopf分岔

系统的非线性动力学方程亦可用状态方程表示为

X∈RN为状态变量矩阵，N为状态变量个数，η∈RM为分岔参数，M为状态变量个数。当η连续变动时，相轨迹的拓扑结构在η0处发生质变，则(x0,η0)为分岔点。Hopf 分岔是指非线性系统参数变化经过临界值时，系统由稳定转变为不稳定状态，并产生极限环的现象[1]。

2 自激摆振虚拟样车建模

基于国内某乘用车模型，在ADAMS/View中建立前麦弗逊式悬架，后扭转梁悬架的转向轮为前轮的后驱虚拟样车模型。它主要包括：底盘，前悬架，后悬架，转向系统，轮胎和路面模型。自激摆振通常认为是由系统中的非线性环节所引起的，下文对模型中的非线性环节进行必要的描述，包括摩擦、轮胎以及阻尼环节等。

2.1 悬架系统

悬架系统为前麦弗逊式悬架，后扭转梁悬架结构：

（1）在前悬的下摆臂增加橡胶衬套，参数如表3所示。

（2）悬架的弹簧刚度和减振器阻尼参数分别为160.2 N/mm，6 000 N·s/mm。

（3）据参考文献[5]可知，前轮定位参数尤其是主销后倾角对自激摆振影响较大，调整后值为4.14°。

2.2 转向系统

转向系统为齿轮齿条式，由转向盘、转向轴、转向传动轴、转向器、转向摇臂、转向横拉杆和空摇臂等组成。

（1）扭簧-阻尼器：在方向盘与转向传动轴之间添加扭簧-阻尼器，简化模拟转向系的刚度和阻尼，具体值见表3。

（2）转向轴：转向轴的转动惯量对自激摆振也有一定影响，结合实际，调整其x，y，z三向转动惯量为2.34×104kg·mm2，2.34×104kg·mm2，229.54 kg·mm2。

（3）干摩擦：系统中存在许多干摩擦环节，本文仅考虑占主要成分的主销处干摩擦。摩擦有静摩擦和动摩擦之分。静摩擦系数的大小对摆振有重要的影响。静摩擦会对转向系统产生一种“死区”效应，外界激励只有先克服“死区”，前轮才有可能发生自激摆振。故转向主销处的干摩擦环节需要建立成动、静分离型的非线性环节。

为此，本文在转向主销处，即悬架下摆臂与转向节总成的球副连接处，设置了摩擦环节。采用库伦摩擦模型，其动、静摩擦系数与两物体间相对滑移速度有关，其相互转换关系如图1所示。

图1 干摩擦模型

其中：vrs为静摩擦过渡速度，vrd为动摩擦过渡速度，μs为静摩擦系数，μd为动摩擦系数。

2.3 轮胎与路面

轮胎的迟滞特性，即在发生侧偏时，侧偏力滞后于轮胎侧偏角，向系统输入能量形成系统的负阻尼，是汽车产生自激摆振的一个重要因素。根据文献[9]，在轮胎文件中设置轮胎松弛长度为0.9 m。要想准确地分析汽车前轮自激摆振特性，需要对轮胎的侧偏力与侧偏角非线性关系有准确的描述。本文采用的是基于魔术公式PAC2002 轮胎模型的ftire_sd_eq_205_55R16 轮胎模型，具有轮胎松弛行为，对轮胎的侧向和回正力矩刚度的控制也更加直接，参数如表1所示，路面则选用2D_flat路面。

表1 轮胎参数

选定轮胎模型，要对轮胎模型的侧偏特性进行绘制，检测轮胎的侧偏特性是否接近实际情况。魔术公式基本表达式为

其中：C为曲线形状因子，D为巅因子，B表示曲线的最大值，BCD为刚度因子，E为曲线曲率因子。Y(x)可以是侧向力，也可以是纵向力F或回正力矩M，在不同的情况下，自变量x可以表示轮胎的纵向滑移率s或侧偏角α。采用公式（5）对该轮胎侧向力的拟合。表2为魔术公式拟合参数值，根据表2参数值拟合得到轮胎的侧偏力Fα与侧偏角α关系如图2所示。

表2 魔术公式拟合参数值

图2 侧偏力Fα与侧偏角α关系图

由文献[10]可知该轮胎模型侧偏力值在合理的范围内，符合实际，满足仿真要求。

2.4 整车模型的建立

待所有的部分创建完成后，根据实际情况，在将各子系统之间并添加合适的约束副，得到整车模型如图3所示。整车参数表3所示。

图3 整车模型图

2.5 自激摆振模型的建立

较于强迫型摆振，自激摆振有明显的特点：

（1）系统在受到外界偶然干扰产生自激摆振后，即使干扰消失，系统并不停止摆动；

（2）前轮自激摆振只有在外界激励足够大时，才有可能产生，且一旦产生，振动的幅值及频率基本保持不变，其频率与激励频率并不相同，但变化不大；

（3）前轮自激摆振总是在特定车速范围内才会出现，较于强迫摆振，发生的车速较低，范围较宽，有着明显的速度分岔特性。

（4）从数学特性来说，自激摆振存在稳定的极限环。

表3 整车主要参数

建立的整车模型具有再现其样车自激摆振现象的能力是本文研究基本前提。Pacejka[2]研究发现，路面凸凹或快速的方向盘输入都能够激发起具备自激摆振能力的汽车发生自激型摆振。根据这一结论，本文开展了方向盘角脉冲输入工况（快速的方向盘输入）的仿真，来验证模型具备自激型摆振的能力。如图4（a）所示，在7 s时快速地给以速度v约为48 km/h 匀速行驶的汽车一个方向盘激励β，其幅值为15°，周期为0.2 s。从图4（b）可以看出汽车前轮出现摆振现象，幅值随时间逐渐增大，最后不变，呈等幅振动。从图4（c）其频域图可得其摆振的频率为7.8 Hz。且当外界激励β分别为20°，50°和100°时，汽车前轮出现类似的摆振现象，其对应的摆振频率均为7.8 Hz左右，与文献[2-3]研究结果相符。

图4 前轮摆振激励响应图

图5为不同激励β对摆振的影响。当β为5°时，由于激励过小，摆角幅值为0，即不发生摆振；当β上升至15°时，摆振幅值由小变大，最后以幅值为4.36°作等幅振动；当外界激励上升至100°，摆振幅值由大变小，最后同样以幅值为4.36°作等幅振动。

图5 不同激励对摆振的影响

文献[11]阐明自激型摆振是一种非线性动力学系统发生Hopf 分岔之后出现的稳定极限环振动的现象。本文在仿真中通过改变车速v，来研究不同车速对摆振的影响。如图6所示，前轮摆振具有一定的速度区间，有着明显的速度分岔特性，低于或超过这个速度区间，摆振都不会发生，摆振发生的速度区间约为30 km/h～70 km/h，符合自激摆振是低速摆振的特点[12]。

图6 速度分岔图

然后分别给予转向盘以15°和100°的激励，绘制出前轮摆振摆角和摆角导数的相图如图7（a）、图7（b）所示，其相轨迹分别从内部和外部趋向于同一极限环。如图7（c）所示，将时域图和相图整合成三维图，能更清楚地发现在不同大小的外界激励下，摆振稳定后所形成的孤立的封闭曲线是相互重合的，最终存在一个稳定的极限环。

从上述搭建的整车虚拟样机模型在不同大小激励下前轮摆振的特点，可以论证该整车模型具备再现自激摆振的条件，为进一步研究奠定了基础。

图7 不同激励下前轮摆角相图

3 悬架参数对摆振影响仿真分析

3.1 悬架下摆臂初始长度对自激摆振影响的仿真分析

悬架下摆臂长度l初始值为479.94 mm，保持下摆臂与转向节的连接点位置不变，通过参数化的方法，修改下摆臂与底盘连接点的位置，来改变下摆臂长度，其他条件保持不变。下摆臂长度对摆角幅值的影响如图8所示。

图8 l对摆角幅值的影响

在一定长度范围内随着下摆臂长度增加，摆角幅值成非线性增加，增加幅度并不大。可见通过修改下摆臂长度达到降低摆振幅值的效果并不好，实际应用中下摆臂长度的调整范围并不大。

3.2 悬架橡胶衬套刚度对自激摆振的影响

悬架橡胶衬套的初始参数如表1所示，其中x向为轴向，y、z向为径向。通过单一修改其三向平移刚度ktx，kty，ktz和三向旋转刚度krx，kry，krz分别得到悬架衬套六向刚度参数对自激摆振的影响如图9所示。

由图9（a）可知，随着ktz从450 N/mm增加至750 N/mm，摆角的幅值从7.4°降低至0°，降低的幅度较大，当增大到750 N/mm，乃至更大之后，摆振不会发生。由图9（c）可知，随着kty从450 N/mm 增加至1 500 N/mm，摆角的幅值在4.4°附近波动，波动幅度小于0.1°，总体呈增大趋势，但影响较小。由图9（e）可知，随ktz增大，摆角幅值先逐渐增大，趋于稳定值。由图9（b）、图9（d）和图9（f）可知，三向旋转刚度从4.44×106 N·mm/(°)增至8.44×107 N·mm/(°)，摆角的幅值在4.4°附近波动，波动幅度小于0.1°，对自激摆振的幅值影响较小。

考虑到x、z向平移刚度对自激摆振的幅值影响较大，所以绘制了其不同平移刚度下的速度分岔图，如图10所示。由图10（a）可知，当ktx分别取600 N/mm，650 N/mm，700 N/mm时，速度分岔区间分别约为25 km/h～85 km/h，30 km/h～70 km/h，35 km/h～50 km/h，可见随着ktx越大，其自激摆振的速度区间越小，且摆振的速度区间下限值越高，这对降低自激摆振的幅值和减小摆振的速度区间有利。由图10（b）可知，当ktz分别取400 N/mm，650 N/mm，900 N/mm 时，速度分岔区间分别约为28 km/h～73 km/h，30 km/h～70 km/h，36 km/h～57 km/h，ktz对自激摆振的速度区间有较大影响，刚度值越低，摆振速度区间越窄，且速度区间下限也明显提高。

4 悬架参数对摆振影响的优化设计

4.1 优化设计方法

模型参数化有助于评估设计变量对模型参数的影响，有利于模型的优化设计。在ADAMS 采用优化分析[13]的参数化方法，主要作用是在变量满足约束条件下，获得最佳的目标函数值。本文基于前文参数分析的结果，找出对样机性能影响较大的因素，然后将其作为设计变量，进行优化设计，大大提高了效率。

4.2 悬架参数的优化设计

优化设计的数学模型为

图9 橡胶衬套6向刚度对摆角幅值的影响

图10 橡胶衬套x、z向平移刚度的速度分岔图

式中：f=f(x1,x2,…,xn)为目标函数；xi为函数的第i个 变 量，fj(x1,x2,…xn)≤0(j=1,2,…,m)为 约 束方程。

本文采用响应曲面法拟合设计变量和响应之间的函数关系，拟合方式为二次多项式拟合。由2.2参数分析可知，下摆臂长l，x向平移刚度ktx，z向平移刚度ktz对摆角幅值影响较大，所以以上3 个参数为变量进行优化设计。建立设计变量及其变化范围（考虑到车身布置及实际应用，变量可调节范围较小）：下摆臂长度l：±3%，x向平移刚度ktx：±10%，z向平移刚度ktz：±10%。目标函数为：在设计变量范围内摆角幅值最小。表4为优化后得到以下3 组优化数据与初始数据对比。Case1 为初始工况，Case2-4 为优化后的工况。

由表4可见优化后的幅值下降百分比为20%左右，且Case2 的下摆臂长是初始值，变动量小，工程实践中更易实施。故对该组参数再返回ADAMS/View 进行仿真计算，得到图11。图11（a）为优化前后摆角幅值时域对比图，发现摆阵幅值确实有明显降低由4.36°降至3.42°，幅值下降百分比为21.56%，有较大程度的改善。图11（b）为优化前后速度分岔对比图，优化后的摆振速度区间约为35 km/h～73 km/h，与初始工况下30 km/h～70 km/h相比，将速度区间的下限值提高了14.28%，区间宽度略有降低。

表4 优化前后参数对比表

图11 优化前后case1和case2对比图

5 结语

本文主要以国内某乘用车建立前悬架为麦弗逊式悬架的整车自激摆振虚拟样机模型，再现其自激摆振现象，进一步分析计算得出其自激摆振幅值随悬架参数的变化情况以及速度分岔图，并根据实际工程应用对主要影响参数值进行优化，降低了前轮自激摆振的幅值。经分析，可得以下结论：

（1）通过ADAMS 虚拟样机平台准确建立了样车的整车多体动力学模型，添加了关键的非线性环节如轮胎迟滞特性、干摩擦和扭簧-阻尼器环节，进一步再现其自激摆振现象；

（2）对自激摆振幅值影响最大的是橡胶衬套的x向和z向平移刚度，其次是悬架下摆臂长度，y向平移刚度以及三向旋转刚度影响较小；

（3）根据参数分析结果，选择影响程度大的悬架参数，通过DOE 实验设计，进行基于响应面法的优化，得到三组优化参数，发现摆振幅值降低20%以上，摆振速度区间下限提高14.28%。为实际样车的初步设计阶段避免或降低由于悬架参数不匹配带来的自激摆振现象提供理论参考。