张运秋

摘    要：边带不稳定性是畸形波生成的一种可能的非线性机理，其数值模拟的实现对于实验室基于非线性角度生成畸形波及开展畸形波对船舶等海工程结构物的波浪力研究都具有重要的指导作用。本文考虑到实验室水槽试验中影响畸形波生成的真实的阻尼作用，以包含阻尼影响的四阶修正型深水非线性薛定谔方程和伪谱方法为基础建立了波浪演化数值模型，通过载波加边带扰动的波列的非线性演化来模拟畸形波的生成，并在此基础上进一步分析阻尼及水槽宽度和扰动频带宽度等参数对畸形波生成的影响作用，其结果对于探索畸形波的非线性实验生成方法将提供有益的帮助。

关键词：边带不稳定性;阻尼影响;畸形波;伪谱方法;数值研究

中图分类号：U661.1                                文献标识码：A

Abstract： Sideband instability may be a possible nonlinear mechanism of freak wave generation. The realization of its numerical simulation plays an important role in guiding the laboratory to generate deformed waves based on nonlinear angle and to carry out wave force research of freak wave on marine engineering structures such as ships. Considering the real damping effect on freak wave generation in laboratory flume tests， a numerical model of wave evolution is established based on the fourth-order modified deep-water nonlinear Schrodinger equation and pseudo-spectral method including damping effect. The generation of freak wave is simulated by the nonlinear wave train evolution of carrier wave plus sideband disturbance. On this basis， the effects of damping， flume width and disturbance band width on freak wave generation are further analyzed. The results will be helpful for exploring freak wave's nonlinear experimental generation method.

Key words： sideband instability; damping effect; freak wave; pseudo-spectral method; numerical research.

1    前言

畸形波是波高大于两倍的有效波高和相邻波高以及波峰大于0.65倍波高的大波[1]。它是海洋工程和学术研究中比较关注的一种灾害性波浪。由于其发生地点的不确定性和持续时间的暂时性，在天然状态下很难捕捉到符合定义[1]的、完整的畸形波记录。已有的一些偶然得到的或者是长期现场观测到的少量畸形波数据，使人们对畸形波的基本特点、发生区域及发生条件的多样性有了初步的认识，但还不足以从本质上了解畸形波的成因及特性。因此，有必要在试验室中模拟畸形波的生成，获得更多的实测数据来研究其发生机理及特性，并将其作为极限荷载来研究波浪与结构物作用的规律。

目前，物理模拟畸形波的研究已经取得了一定的进展。Suchithra and Koola[2]利用深水波浪的色散特性，在某位置處聚焦产生了单个大波，该波的波峰与波高的比为0.54，其波高大于相邻波高的2.9倍;Kuhnlein基于线性波浪理论开发了一个关于极高波群演化的半经验程序来产生高且陡的波，Clauss[3]通过其程序优化的改进技术在波浪水槽中生成了最大波高Hmax=2Hs，波峰ηc=0.6Hmax的畸形波;Shemer and Goulitski [4]利用振幅和频率调制的较宽带宽初始波列水槽中聚焦生成一个高而且陡的畸形波，波峰高度大于造波机处最大波峰高度的3倍，分析表明二阶约束波（2nd bound wave）增加聚焦点处的非线性作用;Kriebel[5]提出在实验室水槽中采用瞬时波列与随机波列叠加来生成了波高H=2.24 Hs和波峰ηc=0.527H的畸形波;裴玉国等[6]采用调整随机初相位、Kriebel[11]提出的双波列叠加和改进的三波列叠加等方法，在实验室中生成了符合定义[1]的畸形波;Boomgaard[7]研究了实验室水槽中的波浪聚焦，指出线性理论不足以产生一个足够聚焦的波，二阶波浪生成理论是用来产生一个波浪聚焦信号的最有效的方法; Sundar et al.[8]由造波机产生的一个非线性瞬时波群在聚焦点处聚焦生成畸形波，波高H=2.125 Hs，波峰ηc=0.685H，其相邻最大波高约为1.25 Hs。江文山[9]于深水区非线性波列调制研究的T091试验中统计到了远大于相邻波高的大波，认为该结果给出了边带不稳定性生成畸形波的一个解释，该实验中波高的最大放大因子为2.26，波峰的最大放大因子为2.95，并且在多次实验中观测到了类似的瞬时大波。

总的来说，目前畸形波的物理模拟技术还主要是线性理论方面的波浪聚焦，模拟出来的畸形波大多与定义[1]有一定的差别，考虑到畸形波的强非线性特点，需要加强这种极限波浪的非线性生成技术以利于探索畸形波的生成机理及其对结构物作用方面的研究。因此，在实验室中通过边带不稳定性机理，采用深水非线性波列演化方法生成畸形波，是物理模拟畸形波生成可考虑的一个发展方向。而波浪在实验水槽中的演化或多或少都会受到一些阻尼影响，尤其是较窄的水槽，因此，本文将以考虑阻尼作用的四阶修正非线性薛定谔方程[10]和伪谱方法为基础建立波浪演化数值模型，来探索实验室中通过深水非线性波列演化生成畸形波的可行性以及有效性。

2   数值模型

2.1  控制方程

影响波浪行进的阻尼主要考虑粘性耗散的作用，假设它是边界层处耗散的主要因素，由于边界层区域在各向尺度与一个波长相当的流体体积中仅占极小的比例，则在几个波长的距离和几个周期的时间内，对波动的全局影响甚微;然而对远大于波长的长距离和远长于周期的长时间来说，粘性有累积效应，是不可低估的。因此，本文采用考虑粘性阻尼作用的四阶修正非线性薛定谔方程来研究波浪水槽中波列的演化。群速度移动坐标系统下的无因次方程[10]为：

2.2  数值方法

方程（1）为高阶非线性方程，主要采用伪谱方法（Lo and Mei，1985）[10]来快速求解，伪谱方法以傅立叶变换为基础，因此方程的求解总是在一个周期为2π域上进行。复波包A在傅立叶空间上的变换及逆变换表示为：

2.3  边带扰动及不稳定性条件

3   数值计算结果及讨论

边带不稳定性是畸形波生成的一个主要可能原因，但其演化受多种相关因素的影响，因此将边带不稳定性的演化与畸形波的生成结合起来，来分析各种因素对畸形波生成的影响以及如何在物理试验中快速获取畸形波。

3.1  扰动频带宽度的影响

扰动频带宽度是载波与边带扰动之间的频率偏差，亦即相邻边带之间的频率偏差。无因次的扰动频带宽度为Δω/ω=γε。对于确定的波陡，尺度因子γ决定着扰动频带宽度的大小，也决定着不稳定域内不稳定边带的多少。

计算中取边带扰动振幅S=0.05，载波的基频f =2 Hz，波陡ka=0.15，实验室水槽宽度B=1 m。根据公式（9）可知，当尺度因子0<γ<1.15时，边带扰动是不稳定的。在该不稳定域内调整尺度因子的大小，亦即调整扰动频带宽度或不稳定边带的多少来模拟畸形波的生成。

模拟中采用上跨零点法统计波高，取载波波高为有效波高，通过前面给出的定义判断波列演化过程中畸形波的出现。图1给出了尺度因子取不同值时畸形波首次出现时的波面，图中近于正弦波的波面上突然升起了一个高且陡的大波。设该大波为波列中第n个波，波高为hn，波峰高度为hc，该大波前后相邻波高为hn-1和hn+1。该大波生成的位置及波高特性如表1所示，所生成的大波波高与有效波高的比值均大于2，大于前一波高的2倍，大于后一波高的3～5倍，波峰与波高比大于0.65倍，波面垂直不对称性明显，表现出较强的非线性特征，完全符合畸形波的定义;随着尺度因子的减小，畸形波的生成位置距造波机越来越远，但与尺度因子并无线性关系，因此物理模拟中以数值结果为辅助更易于捕捉畸形波。

畸形波的生成與波列演化过程中载波与不稳定边带间的能量交换相关，为了解波列空间演化过程中畸形波生成的情况，图2给出了移动坐标系统下无因次的空间上畸形波出现的位置和载波v=0及边带v=±1，±2谱振幅的演化。图中畸形波出现的位置基本对应着载波能量的第一次降低至极值位置附近，这主要是由于粘性阻尼的耗散作用，载波及两对边带的能量随着演化距离的增加而不断递减，使得无阻尼作用下谱演化的类周期性质被改变，因此波列演化过程中多在载波能量第一次下降至极值位置附近易观测到畸形波的出现。另外，随着尺度因子的减小，在较近的距离上都可以统计到畸形波，说明生成的畸形波传播的距离有所增长，有利于物理模拟中捕捉到畸形波。需要特别指出的是，数值模拟中γ=0.2时在某一个位置周期为2π的波面上统计到了2个畸形波，说明较多对不稳定边带之间的强非线性相互作用抵消了部分粘性阻尼作用，有利于物理试验中得到畸形波。

3.2  初始扰动振幅的影响

初始扰动振幅的大小决定了扰动边带初始能量的大小，影响着不稳定边带的发展。计算中取边带扰动振幅S=0.1，0.05，0.01，载波的基频f =2Hz，波陡ka=0.15，实验室水槽宽度B=1 m。图3给出了上述条件下尺度因子γ=0.7时波列演化过程中畸形波出现的位置统计和载波v=0及边带v=±1，±2谱振幅的演化。如图所示，随着初始扰动振幅的减小，载波v=0及边带v=±1，±2的谱振幅曲线变化至极值的频率降低，畸形波生成的概率也因此减少。由前面的模拟可知，因阻尼的作用，畸形波的出现大多位于载波能量下降至极值位置附近，而图中仅有初始扰动振幅S=0.1时的模拟中在该位置附近出现了畸形波，说明较大的初始扰动振幅增加了畸形波生成的可能性，并且也缩小了生成位置的空间距离。显然初始扰动振幅的增加，增加了不稳定边带v=±1的初始能量，加快了调制不稳定性的演化，使得载波v=0谱振幅下降至极值的幅度增加，向不稳定边带v=±1转移的能量也随之增加，从而利于物理模拟中获取畸形波。

3.3  水槽宽度的影响

由公式（3）可知，水槽宽度B的取值影响阻尼的大小，随着水槽宽度的增加，阻尼减小。计算中取边带扰动振幅S=0.05，载波的基频f = 2 Hz，波陡ka=0.15，水槽宽度B=3.0，2.0，1.5，1.0 m。图4给出了水槽宽度变化对于畸形波的生成以及相应的谱振幅演化的影响。从图中可看出，对于γ=0.7只有一对边带v =±1不稳定时，随着水槽宽度的增加，载波v=0及边带v =±1，±2的谱振幅变化的幅度增加，即初始波列中被阻尼耗散掉的能量逐渐减少，当水槽宽度B=3 m时，载波v=0及边带v=±1，±2的演化已基本接近于无阻尼状态的演化;而波列演化过程中，畸形波的生成都集中在载波v=0谱振幅第一次下降至最小值位置附近，但畸形波的传播距离随之增加，然而因较大的阻尼作用下单位宽度的水槽中并无畸形波出现。因此物理模拟畸形波试验中，若选较大的尺度因子，亦即较大的无因次频带宽度，则需要水槽宽度也相应增加。

3.4  波陡的影響

波陡ε=ka，由试验经验可知，较陡的波列易发生边带不稳定性[C.C. Mei，1989]。根据公式（9）可知，给定载波频率f，波陡的变化不仅影响着边带的不稳定域的大小，而且还影响边带的带宽。当ka=0.2，0.15，0.1时，所对应的不稳定域分别为0<γ<1.07、0<γ<1.15、0<γ<1.23。计算中取S=0.05，f =2 Hz，ka=0.15，B=1m，调整不稳定域内的尺度因子大小来模拟畸形波的生成。图5给出了尺度因子γ=0.9时波陡变化对于载波及边带的谱振幅演化及其过程中畸形波的生成影响情况。随着波陡的增加，载波v=0及边带v=±1，±2的谱振幅曲线变化至极值的频率稍有降低，但由于无因次的空间距离与实际距离之间存在着一个波陡平方的系数关系，并没有使畸形波可能生成的位置距造波机越来越远，而是在很大程度上变近了;另外，由于不稳定边带v=±1的非对称增长逐渐加强从而导致了ka=0.2时有畸形波生成，但阻尼的耗散作用使得谱振幅首次极值后再无畸形波出现。因此，物理模拟中适当地增加波陡，不仅有利于畸形波的生成，而且可减少畸形波生成的距离。

4    结语

本文以考虑阻尼作用的四阶修正NLS方程为基础研究了数值试验水槽中畸形波的生成。通过不稳定边带的谱演化分析并结合畸形波的出现位置统计，讨论了扰动频带宽度、初始扰动振幅、水槽宽度、波陡等因素对实验室生成畸形波的影响，可以得到如下结论：

（1）由于粘性阻尼的耗散作用，畸形波仅在水槽中不稳定边带谱振幅演化的首次极小值位置处出现，因此捕捉畸形波的仪器应设在该处;

（2）畸形波生成的位置与造波机间的距离与扰动频带宽度、初始扰动振幅、水槽宽度、波陡等因素并不呈线性关系变化，因此物理试验中以数值结果为辅助更易于捕捉畸形波;

（3）适当地减小频带宽度，或增加初始扰动振幅，或选用较宽的水槽，或增加波陡，有利于物理模拟中生成畸形波，但生成的位置会有所改变。

参考文献

[1]Klinting， P. and Sand， S.， 1987. Analysis of prototype freak waves， Coastal  Hydrodynamics， ASCE.

[2]Suchithra， N. and Koola， P. M.， 1995. A study of wave impact on horizontal slabs. Ocean Engineering， 22 （7）.

[3]Clauss， G. F.， 2002. Dramas of the sea： episodic waves and their impact on offshore 、structures. Applied Ocean Research， 24（3）.

[4]Shemer， K.， Goulitski， E K.， 2006. Evolution of wide-spectrum unidirectional wave 、groups in a tank： an experimental and numerical study. European Journal of Mechanics B/Fluids.

[5]Kriebel， D. L.， 2000. Efficient Simulation of Extreme Waves in a Random Sea. In： Abstract for Rogue waves 2000 workshop， Brest.

[6]裴玉国， 2007. 畸形波的生成及其基本特性分析： （博士学位论文）. 大连理工大学.

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[12]Mei， C.C.， 1989. The applied dynamics of ocean surface waves. World scientific.