董亚迪，廖胜利，燕志宇，张世钦

(1.大连理工大学水电与水信息研究所，辽宁大连116024；2.国网福建省电力有限公司，福建福州350003)

0 引 言

枯水期流域内降水及来水量都较少，水资源供需矛盾突出，无论是跨流域水量分配，还是水电调峰调度都要求水库特别是调节性能较差(季调节及以下)的水库有比较准确的日来水量预测；因此，开展枯水期径流预测对充分发挥水库效益及提高水电站发电调度水平具有重要意义[1-2]。枯水期径流主要由汛末滞留在流域内的蓄水量消退以及枯水期降雨形成，影响因素非常复杂，主要包括以气候和地质为主的自然因素及工农业用水等人为因素[3]，河流断面径流量呈逐渐消退趋势但预测极为困难。

目前，枯水期径流预测大多采用比较简单的传统方法，主要包括退水曲线法[4-5]、前后期径流相关法[6]、回归分析法[7]、人工神经网络法[8]和遗传算法[9]等，尤以退水曲线法应用最为普遍。赵铜铁钢等[10-11]采用随机森林模型对长江上游屏山站和寸滩站枯水期径流预报进行了探讨，研究结果显示，随机森林模型能有效选取水文—气象预报因子进行径流预报。近年来，随着气候条件的改变以及人为因素的影响，流域特性和枯水期径流规律有了一定的变化[12]，因此为了提高预测精度，需要对传统退水曲线法做出改进。

本文针对退水曲线公式中消退系数随时间逐渐递增的关系，提出用n阶多项式函数曲线拟合消退系数，构建了改进的退水曲线预测模型，通过比较各模型预测值平均偏差率选取最佳预测模型，并结合典型年法给出了枯水期径流预测的具体步骤。最后将该模型应用于澜沧江流域功果桥水电站枯水期径流预测，预测效果良好，模型可供其他电站或流域参考和应用。

1 常规退水曲线

当忽略枯水期少量的降雨时，枯水期径流的来源主要是汛末滞留于流域内的蓄水量，包括地下蓄水量和河网蓄水量。对于由地下水补给的河流，可以近似地认为地下蓄水量与出流量之间为线性关系，因此其蓄量方程可以表示为

-Qg(t)=dWg(t)/dt

(1)

Wg(t)=kgQg(t)

(2)

整理后可得

dGg(t)/Gg(t)=-(1/kg)dt

(3)

求解式(3)可得

Qg(t)=Qg(0)e-t/kg

(4)

式中，Wg(t)为t时刻的地下蓄水量，m3；Qg(t)为t时刻的出流量，m3/s；Qg(0)为退水开始时刻t=0时的出流量，m3/s；ks为常数。

同理，由河网蓄水量补给的枯水期径流，其蓄泄关系也近似呈线性，则出流量Qr(t)的消退规律是

Qr(t)=Qr(0)e-t/kr

(5)

式中，Qr(t)为t时刻的出流量，m3/s；Qr(0)为退水开始时刻t=0时的出流量，m3/s；kr为常数。

一般情况下，流域的退水过程是地下蓄水量和河网蓄水量共同补给的结果，可用一个总的退水公式表示。即

Q(t)=Q(0)e-t/K

(6)

式中，Q(0)、Q(t)分别为退水开始时刻t=0时的流量和t时刻的流量，m3/s；K为常数，其定义为

W(t)=KQ(t)

(7)

式中，W(t)为t时刻的蓄水量，m3。

式(7)表明，当泄流流量恒定为Q(t)时，蓄水量W(t)泄完所需的时间正好为K。由于蓄水量分布在流域的各个位置上，距出口断面的距离远近不同，汇集时间大小不等，因此K可解释为流域水流平均汇集时间。

若简化式(6)为

(8)

则

Cg=e-1/K

(9)

式中，Cg为常数。由于K为流域水流平均汇集时间，则Cg也可反映退水速率的快慢，称为消退系数。式(8)即为常规的退水曲线公式。因此，掌握了Cg的变化规律就掌握了退水曲线的规律，分析退水曲线就是分析Cg的变化。

2 改进退水曲线预测模型

2.1 常规方法存在的问题

传统方法计算时，首先把退水曲线式(8)表达为递推形式(Δt=1 d)

Q(t+1)=CgQ(t)

(10)

由式(10)知，消退系数Cg可直接由计算时段始末的两个实测退水流量来确定。即

Cg=Q(t+1)/Q(t)

(11)

因此，将相邻时段流量数据组成样本系列，通过均值法或最小二乘法求出该流域的消退系数Cg。当用最小二乘法来估计消退系数时，表达式为

(12)

式中，n为样本系列中相邻时段流量数据组的组数，即一组样本系列中有n组观测值；括号中i为观测值序号，第二个数字为前后时段序号。即，Q(i，1)为第i组观测值的前一时段流量，Q(i，2)为第i组观测值的后一时段流量。

虽然最小二乘法考虑了一次退水过程每个时段的流量数据，但是当把求得的Cg作为固定的常数代入式(8)进行枯水期径流预测时，会发现预测值偏差较大，结果往往达不到较好的效果。其原因是，此方法将Cg简化成了一个恒定常数；然而，当我们直接利用原流量系列Q(t)和Q(0)之间的函数关系反向推求Cg，不难发现Cg并非为一个恒定常数，而是随时间t大致呈递增趋势。而且在最小二乘法中，Cg的推求是通过Q(t)和Q(t+1)的关系得到的；而在退水预测时，却是运用初始时刻的退水量即Q(0)和Q(t)的关系，这样难免会造成Cg求解方法上的矛盾及较大的误差。

2.2 基于n阶多项式的改进退水曲线

由于Cg并非是一个恒定常数，其随时间t大致呈递增的趋势。根据其递增的规律和线型，本文采用与传统方法不同的假设，认为Cg是随时间变化的n阶多项式函数。即用多项式函数拟合Cg。根据枯水期径流资料，利用Q(t)和Q(0)之间的函数关系推求Cg系列值后，用n阶多项式函数曲线进行拟合，发现：当阶数大于等于4时，拟合曲线会出现振荡，引起过拟合情况；随着多项式阶数增加，曲线拟合偏差会越来越大，径流预测值曲线和实际流量曲线的偏差也会越来越大。因此，本文用多项式函数拟合Cg时，只考虑一阶、二阶和三阶三种情况。即

(13)

(14)

(15)

将拟合结果代入式(8)可得改进退水曲线公式(下式中的i式(12)已用，不能再表示另一个物理概念，需换符号j，以下相关均需改)

(16)

式中，j为阶数，取1，2，3；Qi(t)为j阶多项式对应的t时刻预测流量值。

故本文采用改进退水曲线式(16)进行枯水期径流预测。关于改进退水曲线的最佳预测模型选择标准，本文采用预测值偏差率式(17)来判断。首先根据式(16)进行枯水期径流预测，然后根据式(17)计算每个退水曲线公式预测值对应的平均偏差率，取平均偏差率最小值对应的退水曲线公式作为此次预测的最佳预测模型。即

(17)

2.3 典型年选择方法

对于某个特定流域，枯水期径流消退规律在历年中往往表现出较好的重复性。基于n阶多项式的改进退水曲线模型和常规退水曲线法一样，仍然是一种利用历年径流变化规律来预测枯水期径流的预测方法。因此，本文采用典型年法来获取历史径流资料，作为枯水期径流预测依据。

随着人们生活方式的改变，人类活动的影响和气候变化对流域枯水期径流的影响不容忽视[11]。因此，在选择典型年径流资料时，这些影响因素需要考虑进来。由于近20年内流域特性和枯水期退水规律与预测年份相比往往更加相似；因此为了提高预测准确度，本文将典型年选择范围缩短至近20年历史径流资料内。

典型年流量资料选择标准有两个：第一，确定预测初始时刻退水流量，在历史同期径流系列中找出流量大小与预测年份较为相近的年份作为典型年候选年份(百分误差不大于3%)。第二，计算预测初始时刻前10天平均流量，以及典型年候选年份中同期时段的平均流量，从而确定二者的百分误差。然后将典型年候选年份中初始时刻流量百分误差和前10天平均流量百分误差相加，找出百分误差和最小年份作为典型年。确定第二个选择标准的原因是，流域预测初始时刻前期蓄水情况和径流量对流域退水过程会有较大影响作用。

2.4 预测求解步骤

利用改进退水曲线模型进行枯水期径流预测时，依据有两个：预测年份初始时刻退水量Q(0)和利用典型年径流资料拟合得到的Cg多项式函数。该公式并未考虑流域实际面临的各种复杂气候条件和人为因素。如果预测时段过长，突发性气候和人类活动对退水过程的影响就会大大增加；因此预测误差也会更大。长期的枯水期径流预测准确性和可信程度都偏低，使得水库实际调度时必须考虑来水情况的各种变化。因此，为了提高预测准确性，本文将一次预测周期确定为30 d。

本文利用改进退水曲线模型进行枯水期径流预测的流程具体步骤如下：

(1)确定预测年份初始时间，根据典型年流量资料选择标准确定典型年。

(2)根据典型年流量资料，确定消退系数Cg实际变化过程线，然后拟合得到Cg的一阶、二阶和三阶多项式函数。

(3)将拟合到的Cg多项式表达式代入常规退水曲线式(8)，得到改进退水曲线公式。

(4)将预测年份起始流量Q(0)代入改进退水曲线式(16)，进行逐日流量预测。

(5)计算每个改进退水曲线公式预测值对应的平均偏差率，取平均偏差率最小值对应的退水曲线公式作为此次预测的最佳模型。最佳模型预测值即为最终预测成果。

3 实例研究

3.1 实例背景及资料

本文以澜沧江流域为实例进行研究。澜沧江在我国境内长2 130 km，落差约5 000 m，流域面积17.4万km2，水能资源蕴藏量约3 656万kW。全流域属西南季风气候，其显著特点是干、湿两季分明，一般5月至10月为湿季，11月至次年4月为枯水期，约85%以上降水量集中在湿季；而又以6月～8月为最集中，3个月降水量占全年降水量60%以上。枯水期降水量很小，枯水期径流主要由流域前期蓄水补给，流量过程呈现较稳定的消退趋势。

功果桥水电站是澜沧江干流水电基地中下游河段“两库八级”梯级开发方案的龙头电站。本文以功果桥水电站坝址断面1996年～2015年中的20年日平均流量资料作为历史径流数据库选择典型年，进行枯水期径流预测，并用2016年实际流量数据进行成果检验。

3.2 参数计算及选择

以2016年11月11日为预测起始日期，起始流量为998.13 m3/s，前10天的平均流量为1 081.37 m3/s。根据典型年选择标准在历史数据中确定典型年为2013年。起始日流量为1 024.69 m3/s，误差为2.5%，符合候选典型年选择标准；前10天的平均流量为1 120.41 m3/s，误差为3.4%，二者的误差和为5.9%，在候选典型年系列中为最小值，符合典型年选择标准。

根据典型年流量数据，对消退系数Cg进行多项式函数拟合，可得Cg的一阶、二阶和三阶多项式

(18)

(19)

0.004t+0.926 2

(20)

将拟合到的Cg表达式代入常规退水曲线式(8)，即可得改进退水曲线公式。

3.3 计算结果及分析

图1为典型年流量系列Cg曲线、多项式拟合曲线和最小二乘法Cg曲线。从图1可以看出，典型年流量消退系数Cg随时间t大致呈递增的趋势。当采用传统的最小二乘法处理时，将典型年相邻时段流量数据组成样本系列，根据最小二乘法式(12)可求出该流域消退系数Cg=0.971；此时，退水曲线公式中的Cg被视为一个恒定的常数，处理后的结果是实际的Cg和预测公式中的Cg有较大偏差。二阶和三阶多项式函数拟合效果要好于一阶多项式函数。相比较三阶多项式函数、二阶多项式函数的拟合效果稍有优势。

图1 典型年Cg曲线和拟合曲线

将2016年11月11日流量Q(0)=998.13 m3/s代入改进退水曲线公式对11月12日至12月10日30天流量进行预测；同时，将Q(0)=998.13 m3/s和通过最小二乘法求出的Cg=0.971代入常规退水曲线式(8)进行预测，得到预测流量值(见图2)。根据式(17)得不同预测方法下的平均偏差率：最小二乘法为10.85%；一阶多项式为7.25%；二阶多项式为2.84%；三阶多项式为7.37%。

图2 2016年实际流量曲线和预测流量曲线

从图2的4条预测流量曲线可明显看出，最小二乘法预测结果与实际流量的偏差最大，平均偏差率为10.85%；在前期大部分时间多项式函数预测结果和实际流量都非常接近，但尾部阶段差异越来越大。与2016年实际流量数据行对比，二阶多项式预测方法明显优于一阶多项式和三阶多项式预测方法。因此，本次预测的最佳模型为基于二阶多项式的改进退水曲线模型。

其中，11月29日和30日二阶多项式预测流量与实际流量相比有些许的偏差。查看历史降雨资料得知，原因是这段时间内澜沧江流域内有一些局部降雨，从而引起实际流量略大于预测流量。整体来看，从11月中旬到12月中旬二阶多项式的预测流量曲线与实际流量曲线基本吻合，平均偏差率仅为2.84%，预测效果良好。

4 结 语

本文分析了枯水期径流预报的重要性，介绍了枯水期径流的主要来源和影响因素。针对退水曲线公式中消退系数随时间t逐渐递增的关系，提出用n阶多项式函数曲线拟合消退系数，从而构建了基于n阶多项式的改进退水曲线预测模型，通过比较各模型预测值平均偏差率选取最佳预测模型，并结合典型年法给出了枯水期径流测的具体步骤。

本文以澜沧江流域功果桥水电站为实例，对2016年11月11日至12月10日进行了30天的枯水期逐日径流预测，通过比较各模型预测值平均偏差率，确定最佳模型为基于二阶多项式的改进退水曲线预测模型，其预测效果良好，可供其他电站或流域参考和应用。