张洪光 陈焕贞

( 山东师范大学数学与统计学院, 250358, 济南 )

1 引 言

众所周知, 分数阶扩散方程描述了反常扩散、混沌动力学、粘弹性问题等重要物理现象[1-3]. 大量的实验结果表明, 分数阶扩散模型给出了对这些实际问题较二阶扩散方程更为精确的刻画. 但一般的分数阶扩散方程难以求得其解析解, 只能采用恰当的数值方法进行离散求解. 为此, 人们提出了大量的数值模拟方法. 这些数值方法主要分为两类: 一类是基于差分框架下的数值方法, 如文献[4]、[5],另一类是基于Galerkin框架下的数值方法,如文献[6]、[7]、[8]、[9]等.但由于分数阶算子非局部性质所导致的计算复杂性, 大部分数值方法都是围绕一维分数阶扩散问题进行讨论的. 本文针对二维分数阶扩散问题, 借鉴文献[10]中对一维问题提出的最小二乘思想与Galerkin框架, 通过引入扩散通量作为中间变量, 提出了相应的最小二乘混合变分形式, 证明了极小问题与变分问题的等价性. 据此, 建立了数值求解二维分数阶扩散问题的最小二乘混合有限元离散格式, 证明了离散解的存在性与唯一性, 并通过数值算例说明离散格式具有较好的逼近性质.

2 分数阶扩散问题与变分形式

对0<β<1, 我们考虑如下2-β阶二维扩散方程

(1)

这里,未知函数p表示扩散浓度,f(x,y)表示源项, 介质的扩散系数假定为常数.为二维梯度算子.

与一阶散度算子类似, 对一给定的向量函数u=(u1,u2)T, 我们定义1-β阶散度算子为

1-β·u=0D1-βxu1+0D1-βyu2,

其中,0D1-βx,0D1-βy分别为Riemann-Liouville二维分数阶导数算子[11],

在(1)中令u=-p, 则原方程改写为下列一阶系统……