陈焕贞 杨素香 刘思宇

( 1) 山东师范大学数学与统计学院,250358, 济南; 2) 山东财经大学数学与数量经济学院，250002，济南 )

1 引 言

扩散过程(diffusion)是指物质分子从高浓度区域向低浓度区域随机运移的物理过程,在自然科学、工程技术和社会经济等领域具有广泛的应用,对其进行准确的数学建模具有重要的现实意义.傅里叶(Fourier,1822)在《热的解析理论》一文中提出了热通量与温差成正比关系,实现了对热量扩散过程的数学刻画,开创了用整数阶微分方程刻画扩散过程的先河;菲克(Fick,1855)建立了描述营养物质在生物细胞膜内传播过程的二阶扩散方程;爱因斯坦(Einstein,1905)也从第一原理出发严格建立了分子随机运移概率密度函数(PDF)服从宏观形式的扩散方程;与此同时,基于经典的Brown运动与随机游走模型,皮尔逊(Pearson，1905),巴舍里(Bachelier,1900)从微观角度分别对蚊子导致疟疾传播过程,资产价格波动过程建立了二阶扩散模型.这些二阶扩散模型的建立基于一个共同的假设：随机运移过程服从经典的Gaussian分布,即分子运移具有有限的平均自由程与平均等待时间.

然而,自然界中存在着诸多不满足上述假定,从而也不宜用整数阶扩散方程描述的扩散过程,称之为反常扩散过程.例如,河口泥沙输运过程中出现的具有长尾的羽流现象,打印机中碳粉的输运过程[1]等,更多的反常扩散现象也出现在源自于湍流的反常扩散或非费克扩散过程[2,3]、混沌动力学[4]、粘弹性问题[5]等实际的扩散过程中.大量的实验……