史忠学

【摘 要】三角形的三边垂直平分线，角平分线，高，中线的交点分别称为外心，内心，垂心，重心，初中就学习了三角形这四“心”的内容，在高中阶段，这四“心”内容进一步深化，本文只在高中阶段平面向量和空间几何这两块知识中系统归纳这四“心”内容，希望对读者和同学们有帮助。

【关键词】三角形；角平分线；空间几何

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）04-0110-01

1 三角形之四“心”的概念：

若P是△ABC的外心（外接圓的圆心所以称为外心） 三条边的垂直平分线交点

若P是△ABC的内心（内切圆的圆心所以称为内心） 三条角平分线的

交点

若P是△ABC的重心（分中线从角顶点到中点为二比一，是三等分点） 三条中线的交点

若P是△ABC的垂心 三条高的交点

2 三角形之四“心”的平面向量表示和运算。

（1）若P是△ABC的外心，则因为

，所以，还可以表示为或者。

（2）若P是△ABC的内心，，（其中a、b、c分别是三角形三边长）。

（3）若P是△ABC的重心，，或者直接用三分点性质表示为，

，。

（4）若P是△ABC的垂心，。

3 三角形之四“心”在空间几何内容的应用。

（1）如图一：①当SA=SB=SC时，S在底面ABC的射影P底面△ABC的外心。

②当SA、SB、SC与底面ABC成角相等时，S在底面ABC的射影P底面△ABC的外心。

（2）如图二：①当顶点S到底边的距离SD=SE=SF时，S在底面ABC的射影P底面△ABC的内心。

②当三侧面与底面ABC成的二面角相等时，S在底面ABC的射影P底面△ABC的内心。

（3）如图三：在三棱锥S-ABC中AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，SE：SA=SF：SB=SD：SC=1：2时，顶点S在底面ABC的射影P为底面△ABC的重心。

（4）①当SA、SB、SC两两垂直时，顶点S在底面ABC的射影为底面△ABC的垂心。

②当SABC、SBAC、SCAB时，顶点S在底面ABC的射影为底面△ABC的垂心。

以上从初中阶段三角形的四“心”概念出发[1]，在高中阶段平面向量和空间几何内容中，进行了系统的归纳总结，只是没有进行证明，这内容在高考试题中频繁出现，所以同学们可以归纳总结记忆，在实际应用中达到熟练应用的程度。

【参考文献】

[1]陈文翔.三角形的妙用[J].初中生，2003（26）.