APP下载

几何直观的内涵、分类与教学要领

2019-06-18王强国

中小学教师培训 2019年6期
关键词:教者直观图形

王强国

(宝应县实验小学,江苏 扬州 225800)

“几何直观”是《义务教育数学课程标准(2011年版)》新增加的三个核心词之一。事实上,“直观”是小学数学中最常见的教学手段,因而对于“几何直观”,一线的教者往往局限于从“理性到感性”的教学回归的认知层面,洞悉不到背后的“超越”。尽管提出多年,实践中,“穿新鞋走老路”的现象比比皆是,有必要对之进行更为深入的剖析与解读,以落实相关的课程目标。

一、“几何直观”的内涵解读

(一)“几何直观”的课标诠释

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出:“几何直观主要指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”[1]

这段话可分为三层理解:第一句话指出了“几何直观”特殊性的一面——利用图形,同时将“几何直观”的两种主要表现进行精炼的概括;后两句话进一步解释几何直观的优势,或者说它的作用(功能)。这里仍然采用描述性的定义方式,将义务教育三个学段的共性特征加以阐述。其中的两个地方值得注意:一是第一句话“几何直观主要指……”中的“主要”一词,关于“几何直观”的含义,国内的一些专家学者从不同视角发表自己的看法,但迄今为止尚未达成共识,这样的描述,为理论研究者以及实践工作者提供了进一步丰富完善“几何直观”的认知空间;二是最后一句话“……在整个数学学习中都发挥着重要作用”,表明“几何直观”应用范围很广,应当成为学生数学学习的基本能力,在所有的数学学习领域中,都要重视学生这方面能力的培养。

(二)“几何直观”的引申解读

数学家希尔伯特(David Hilbert)认为:“在数学中,像在任何科学研究中那样,有两种倾向:一种是抽象的倾向,即从所研究的错综复杂的材料中提炼出其内在的逻辑关系,并根据这些关系把这些材料做系统的有条理的处理;另一种是直观的倾向,即更直接地掌握所研究的对象,侧重于它们之间关系的意义,也可以说领会它们的生动的形象。”[2]数学家克莱因(Morris Kline)指出:“数学不是依靠在逻辑上,而是依靠在正确的直观上,数学的直观就是对概念、证明的直接把握。”[3]徐利治教授认为,在数学中,直观一词解释为借助于经验、观察、测试或类比联想,所产生的对事物关系直接的感知与认识。例如,借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知,即可称之为几何直观。[4]

西方哲学家通常认为:“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察,直接地把握对象的全貌和对本质的认识。”心理学家则认为:“直观是从感觉到的具体对象背后,发现抽象的能力。”[5]

这些论述的共同点在于:直观、数学直观、几何直观,虽然是一种直观的感知或者直接的把握,但都不再停留于感性认识的阶段,而是高阶思维、创新思维的结果,都有思维的参与,可以说是理性认识的升华,是认识的返璞归真。

二、“几何直观”的分类举隅

关于直观的分类,康德指出:“一类是经验直观,一类是纯粹直观。”[6]这是从哲学角度做出的权威解释。结合数学的学科教学,国内一些学者从不同角度给出自己的分类方法。

有学者将“几何直观”分为四种表现形式:一是实物直观,指借助与研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物,借助其与研究对象之间的关联,进行简捷、形象的思考,获得针对研究对象的深刻判断;二是简约符号直观,是在实物直观的基础上,进行一定程度的抽象,所形成的、半符号化的直观;三是图形直观,是以明确的几何图形为载体的几何直观;四是替代物直观,一种复合的几何直观,既可以依托简捷的直观图形,又可以依托用语言或学科表征物所代表的直观形式,还可以是实物直观、简约符号直观、图形直观的复合物。[7]

有学者依据直观对于数学的双重意义(数学抽象的基础与数学理解的深化),对“几何直观”加以区分。将处于感性认识阶段的、较低层次的几何直观,称之为“直观感知”,即观察认识了直观载体的外在现象或表面意义;将高层次的几何直观,概括为“直观洞察”,即发现了直观载体的深层意义或内在本质;将介于“直观感知”与“直观洞察”之间的水平,称之为“直观理解”。[8]

有学者将“几何直观”分为三个层次并概括其相应的表现。第一层次:建立和形成敏捷而准确的几何直觉——感觉与图形相随。表现为:能借助图形思考问题,形成感知;能根据需要画出图形,辅助思考;能结合实际完善图形,发现思路。第二层次:实施深入而灵活的几何探索——视觉与思维共行。表现为:能结合图形特征思考,具备良好的观察力;能灵活进行合情推理,具备良好的探索力;能因题制宜构造分析,具备一定的创造力。第三层次:成为分析和解决问题的有效工具——抽象与形象互辅。表现为:有效分离基本图形,突破问题;善于构造几何模型,变更命题;全面认知图形,随机应变。[9]

以上学者的分类,虽然方式与标准不一,但共性也很显见。首先,都重视学生“几何直观”的先天经验。事实上,即使刚进入小学的学生,也有一定的几何抽象能力,这种与生俱来的抽象能力,是培养“几何直观”的基础,分类中抽象的程度越来越高,但都以保护学生先天的几何直观的潜质为起点。其次,都重视“几何直观”的后天形成,关注这种能力提升的渐进性,为一线教师的教学实践提供参考。

三、“几何直观”的教学要领

(一)认知理解的宽泛性

1.对“图形”的理解

相对于一般意义上的直观,“几何直观”的特殊之处在于:借助几何图形(空间形式)。几何图形分为立体图形(柱体、椎体、旋转体等)和平面图形(圆形、多边形、弓形等),这些几何图形为培养学生的“几何直观”能力提供了丰富的素材。但“几何直观”的本质在于借助图形展开数学思考。因此在小学数学教学中,对于“图形”的理解不妨更宽泛一些,外延更广一些。一方面,只要有利于思考和理解,不必囿于规范的几何图形,比如用倒推的策略解决问题中,在表征题意的过程中,学生自然想到了箭头图,借助箭头图,学生把数量的变化过程清晰呈现,从而理解算法与算理,因此不妨将之纳入“几何图形”的范畴之中;另一方面,图形既可以是有形的可视的,也可以是无形的想象的。事实上,随着学生“几何直观”能力的提升,完全能够进入直接利用表象在头脑中进行思考的境界,典型案例是“珠心算”中的“心算”。教学的关键是培养学生的“几何直观”的意识,在需要帮助时,能够想到这种方法,并且成功运用。此外,一些教者过分强调严谨与规范的做法,也值得思考,比如草稿上画长方形一律要求借助直尺,同时要求学生考量各段之间的长度比例。试想教者自己在画图的过程中是否都做到了规范?“图形”更重要的是表达关系,只要能帮助学生直观分析和解决问题,画草图不该一味指责,否则,可能得到规范却挫伤学生画图的积极性,也会影响学生思维的连贯性。

2.对“几何直观”的认知

在数学语言中,有不少与“几何直观”既有联系,又有区别的相关术语,如“空间观念”“数形结合”“几何推理”“几何直觉”“直观几何”等。许多专家进行了深入细致的分析与解读。如“几何直观”与“数形结合”,有学者指出:“从内涵看,数形结合看重数学两类研究对象(数量关系与空间形式)之间的联系,几何直观侧重数学研究对象的几何意义;从外延看,数形结合具有两方面的作用:形使数更直观,数使形更入微。两者区别在于:数形结合还具有数形更入微的作用,而几何直观则还可以运用于几何本身。”[10]这样的区分理解起来并不难,从学术研究的角度也是有价值的,但在实践中,很难把控。仍以“数形结合”与“几何直观”为例,截至目前,还没有学者能找到不是“数形结合”的“几何直观”的例子。正如曹培英老师认为:面对小学课堂的真实情境,真正进入数学教学的实践,又不得不承认,这些概念之间的差异,实在微不足道,可以忽略不计。只要切实加强空间观念的培养,重视数形结合就可以了,到了高中,相对于义务教育,数学学习更依赖抽象逻辑思维,再来强调“几何直观”,可能更具指导意义。[11]

(二)目标理念“超越”性

1.课程目标的丰盈

在义务教育阶段,“数学课程标准(2011年版)”关于“几何直观”教学的目标设置层次并不丰富。第一学段的课程目标没有涉及几何直观,第二学段的“数学思考”目标中提出了让学生“感受几何直观的作用”,第三学段的“数学思考”目标中提出了让学生“经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直观”。在小学数学教学中“感受几何直观的作用”的目标呈现,显得有些空洞与虚幻,以至于实践中,教者一脸茫然。作为课标中的核心词,体现的是数学教学最应该培养的意识与能力,往往超越知识与技能层面。另一方面,“几何直观”并不显性地和具体的知识点联系在一起。因而对于刚刚加入数学课程的“几何直观”,这样的目标设置在情理之中。其实,课标只是规范与解放结合的指导性文件,并非刚性的约束。小学阶段,我们不妨将“感受几何直观的作用”做一体两面式解读,即既是目标又是实现目标的途径。守住这样的底线,实践中我们就可以创造更为丰富而有效的课程形态与课程经验。低年级,可以将“几何直观”的习惯养成作为目标,遇到一些复杂的问题情境,知道借助图形帮助思考,如“同学们站成一排,小红左边有3个同学,右边有4个同学,这一排一共有多少个同学?”教者持之以恒的示范,有助于学生感受几何直观的价值,也能引导学生养成“几何直观”的解题习惯,实现课程目标;中高年级,可以将“几何直观”的策略与技能的学习作为目标,通过有计划、有系列的问题呈现,鼓励学生积极利用各种图形去直观分析,积累经验,在几何直观的积极尝试中感受几何直观的价值。

2.课程理念的超越

小学生的思维特点以具体形象思维为主,逐步向抽象逻辑思维过渡。但在小学数学中,许多的概念与方法是抽象的,这就造成了学生学习的困难。纵观“数学课程标准(2011年版)”,有两点应对之策:“情境”和“几何直观”。当然具体生动的情境中,包含“几何直观”中“实物直观”的成分。小学数学教学中“直观”是最常见的教学手法,一线教师有着丰富的“几何直观”教学经验,这样的经验为学生“几何直观”能力的培养提供基础,面对这样的课程理念,教者看到回归的同时,更应该有超越性的认知。一是要看到图形的直观性,更要看到图形的抽象性。从辩证的角度思考,事物之间的关系总是相对的,数学中的抽象与直观也是如此,一个数学对象的几何直观对这个对象本身来说,是种直观,但对第一次接触这个直观方式的学生来说,可能还是一种抽象。借助图形直观地把握数学对象,进行数学思考,首先需要把研究“对象”抽象成为“图形”,再把“对象之间的关系”转化为“图形之间的关系”,这样就把研究的问题转化为“图形的数量或位置关系”的问题,进而进行思考分析,这一系列的转化显然不是天然而成的。[12]二是要源于直观,超越直观。教学不能仅停留在直观的层面,需要借助合适的方式,适时适度地抽象。比如“3”的认识,可以出示3个小朋友、3个苹果、3个圆片等,我们不能让学生局限于“3”就是表示3个小朋友或者就是3个苹果。应该引导学生比较得出:物品不同,都是3个。进一步追问:“3还可以表示什么?”从而抽象“3”。

(三)载体路径的“双重”性

实际教学中,要落实“感受几何直观价值”的课程目标,需要借助于一定的内容载体。依据“几何直观”自身的特殊性(借助图形),以及小学数学教学基础性的价值定位,载体立足两条:一是显性的学习——习得技能;二是隐性的感知——提升意识。

1.显性的学习

苏联著名数学家A.N.柯尔莫戈罗夫说过:“只要有可能,数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”[13]事实上,一线的教师在教学中,也会有意或无意地将所要讲解的问题借助图形直观化。现行的各个版本的数学教材,都具有较强的直观性(内容的呈现方式、色彩的选择等),在教者的引导与示范下,学生已经具有初步的依托图形进行表征的心理倾向。因此,“几何直观”的课程实施不妨围绕“画图策略与技能”设立明线脉络,其意义在于,通过有意识的不同阶段的系统学习,进一步引导学生掌握一定的图示技巧。如在低年级可以实施“实物图——示意图(直条图)——线段图”的过渡递进;在中年级设立画图策略的单元,有意识地引导学生掌握画示意图和线段图的要点及技巧,经历借助图进行思考的过程,积累几何直观的经验。[14]

有学者提出,在小学阶段要逐步形成构造直观的系列(如图1)。[15]从一年级开始,就可以相机引导学生画图表示数,画图说明计算结果,特别是在解决实际问题时,放手学生“把应用题画出来”,起初数量小一些,难度低一些,要求少一些,从示意图出发,逐步引入线段图等。实践表明,这样的安排对于发展学生的几何直观,提高学生的问题解决能力都有明显的功效。

图1

2.隐性的感知

学生具备了一定的画图技能,掌握了一些画图方法,是不是就一定能灵活运用?情形并不乐观!教学中,常常遇到这样的尴尬:“平时用不着,用时想不到。”可见除了技能的学习,还有意识的提升。如何培养学生自主筛选、自觉运用“几何直观”解决问题的意识?隐性的感知,虽然没有规划性,但却是极其重要和有效的路径之一。实践中,首先,教者自身应具备良好的“几何直观”的课程意识,将平时教学中一些无意的举措变为有意、创意的行为,从自发走向自觉;其次,小学数学教材中蕴含大量的“几何直观”的素材,应该充分挖掘和呈现数学知识中固有的几何直观因素,创造贴切的几何直观来理解所学的方式,引导学生充分感知“几何直观”的价值。教学案例信手拈来,如“平均数意义”体会教材安排直条的移多补少;“乘法分配律”教材借助求组合矩形(同宽的矩形组成一个大矩形)的面积来感悟;“倍数与因数”教材选取“摆小方块”来体会倍数与因数之间的关系等。但对于小学生而言,我们还需要在更广的范围,精选更具代表性、更有震撼力的习题,让学生在“复杂情境”中深刻感知“几何直观”的价值与魅力。比如“分数乘法”的几何模型,为什么分子和分子相乘,分母和分母相乘?借助“几何直观”一目了然(见图2)。

图2

(四)实践操作的过程性

1.“几何直观”本体的过程性

从“几何直观”的内涵看,它既是学生个体与生俱来或者后天学习所形成的相关技能,表现出结果属性,也是利用图形描述问题、思考问题的过程,表现出过程属性;从目标看,“数学课程标准(2011年版)”定位为“感受几何直观的作用”,而“感受”是描述过程性目标的行为动词;再从学生视角看,如前文中所述,一种“几何直观”的新形式对于学生来说,往往是抽象的,如果学生不领会几何图形本身的特征,不明晰图形本身具有的数学模型意义,那么图形就不具有让数学思考变得有形可视的直观作用。而学生的“领会”“明晰”能力的提升需要初次接触时完整经历逐步感知过渡到理解的过程,并在后续的学习中不断强化,图形才能体现“帮助学生直观地理解数学”的深远价值。事实上,“几何直观”是一种意识,也是一种能力,更是一种思维方式,无论从哪个维度思考,都不难发现,其培养与提升有一个过程,不可能一蹴而就。教者应该有一定的规划,将长期目标与短期目标有机整合,培养策略在立足课堂的同时注重课外延展,将数学的学习与生活巧妙链接。这种本体的过程性认知,有助于教者提升“几何直观”的课程意识,更系统地践行,也有助于实践中,以更加平和的心态面对课堂中的得与失,学生学习中的错与对。

2.“几何直观”教学的过程性

从教学的层面看,“几何直观”的能力提升中,立足画图、析图等技能技巧的训练,是行之有效的切入点,但不能用机械讲解的方式灌输给学生,应该让学生充分经历自主尝试、小组合作、分享交流、思维碰撞的过程。首先,要关注“几何直观”的形成过程。“几何直观”需要依托图形,图形的介入应该避免直接的呈现,比如将图文同时呈现,然后要求学生借助图形思考问题。这种情形下,可能学生思维的难度降低,正确解答的成功率提升了,但“几何直观”的意识淡化了,即在没有外界提醒的情况下,学生想不到借助“几何直观”思考问题。因此,面对具体问题时,要让学生有思考酝酿、筛选策略的过程,在此基础上,适当点拨,逐步养成“几何直观”的思维方式。其次,要关注学生的思维过程。面对同一个数学问题,不同学生“几何直观”的外化形式可能有许多种,比如有学生画的是面积图,有学生画的是线段图等。同时,具体到某一个学生,图示的方法又有优劣甚至对错之分,教学中,要引导学生表述自己的思维过程,如“你是怎么想到的?”“你的图想表达什么意思?”等。在这个过程中,要特别注意保护、激发学生的直观禀赋,教者要用直观而不是“几何直观”的视野去品读和领悟学生的表达,当学生用直观方式表达交流的愿望不断得到强化,随着几何知识的积累,几何活动经验的丰富,“几何直观”也会越来越得到自觉运用。

综上所述,小学数学教学中,“几何直观”的培养是一个潜移默化、逐渐渗透的过程,对内涵的深刻认知,对细节的深入关注,有助于我们洞悉“回归”背后的“超越”,探索更加丰富而有效的教学对策,更加全面地落实课程目标,为学生数学学科素养的提升做出应有的努力!▲

猜你喜欢

教者直观图形
小学数学运用信息化教学的途径
直观构造中的代数刻画
数形结合 直观明了
简单直观≠正确
根据计数单位 直观数的大小
分图形
找图形
图形变变变
音乐表演技能培养之我见
图形配对