陈超

摘 要：“螺旋式上升”是北师大版教材基于学生认知发展的科学编排，教学中许多教师将螺旋呈现为循环，未能很好促进学生发展。如何很好的在螺旋中体现上升，作者以“三角形内角和定理”为载体，对从合情推理到演绎推理过程中促进学生哪些能力的发展提出了自己的思考。

关键词：螺旋式上升三角形内角和定理直观抽象

最近，笔者随我县教师培训中心参加了一次乡镇送交“同课异构”活动，有两位教师上课，分别为县内教师培训团队优秀青年教师和送教点优秀青年教师。

听评课过程中，笔者看到了课堂的精彩，聆听了参训老师的点评，与授课教师与参训教师进行了交流……受益匪浅，也引发了一些思考。这里，笔者结合两位授课教师引导学生形成证明思路的探究活动，谈谈自己的思考，与授课教师和广大同仁商讨。[1]

一、授课内容概述

本次同课异构活动课题为北师大版《义务教育教科书·数学》八年级上册第七章第5节“三角形内角和定理”（第一课时）。[2]

在七年级的“认识三角形”内容学习中，学生已通过撕纸活动探究了“三角形内角和等于180°”这一结论，初步学习了用基本逻辑语句进行简单说理.本节课则是以“三角形内角和定理”为载体，让学生在具体命题证明中尝试进行有条理的表达，发展演绎推理能力。

二、案例呈现

教师案例1：（1）ppt展示七年级拼图过程；（2）学生口头表达结论正确性；（3）教师给出文字命题，并结合命题展示图形及对应几何命题；（4）师生共同再次完成拼图操作；（5）结合图形及拼图过程，教师指明本题需要作平行线；（6）师生共同完成证明；（7）还有其它拼图方法吗？（后面继续完成拼图操作，然后在进行证明）。

教师案例2：（1）结合文字命题，给出几何命题及图形；（2）利用三角形纸片完成拼图（小组展开活动，教师点拨：想撕几个角，就撕几个角）；（3）学生展示拼图；（4）师生结合拼图，对定理进行证明；（5）学生展示其它拼图，师生共同证明。[3]

教材案例3：（1）你还记得“三角形内角和等于180°”这个结论的探索过程吗？（2）如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能说明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？

在引导证明定理时，两位授课教师都先从拼图开始从直观上发现，然后引导学生对基于操作的拼图进行思考，然后得到辅助线的作法，进而完成证明。授课中，两位教师可能为了呈现思路的“自然生成”，不断通过拼图抽象辅助线作法，特别是拼图后描出相应线段，然后将纸片抽走留下几何图形作为证明思路的生成。两位教师对证明思路形成的呈现与教材方式有所区别，教师的问题与活动设计基于“生成”先要“回归”这一顺序，更凸显直观的作用；教材问题设计则关注于基于操作的思考，凸显基于操作的对抽象问题的解决。

三、螺旋中的上升

我们知道，北师大版教材的编排上很好的体现了“螺旋式上升”，本节课是在七年级探索的基础上对“三角形内角和定理”的继续学习，本节课我们要在哪些方面体现“上升”呢？

1.在螺旋中实现从直观到抽象的上升

本节课的重点是以三角形内角和定理为载体，发展演绎推理和几何表达能力，难点在于从直观中抽象出证明思路（主要是辅助线添加）.对于本节课，我们是否需要让学生经历如此多的拼图过程？笔者认为，本节需要处理好“拼图”的度，在发展演绎推理能力时重点关注对问题的抽象分析。“三角形内角和定理的已知和结论之间的互相关系并不明朗”，如何让学生基于拼图建立知识之间联系，在具体教学情境中引发、促进学生从直观到抽象的思考，是本节课体现上升的地方。教材问题从“回顾探索过程”到“只移动一个角”再到“无法移动如何解决”就很好的体现从直观到抽象的上升，也体现了对学生数学思考的培养。当然，“拼图”对“证明”思路的形成（如辅助线的添加）存在着很好的启发作用，但我们不能过度渲染而影响演绎推理能力的发展。[4]

2.在多样证法中实现思维的上升

授课中，两位教师都试图体现多种证明方法，特别是其中一位教师给学生呈现了多种辅助线思路。但这些证法都是在教师极力凸显的“自然生成”中，将纸片抽走后留下图形“生成”的，对于“为什么要这样添加辅助线”则缺少了学生的思考。“精彩”的背后，学生思维能力并未得到应有的提升。

对于如何在突破添加辅助线这一难点过程中提升学生思维能力，笔者认为，可以尝试从以下几个方面引导学生思考（1）课本拼图中180°是借助什么知识判断的？（平角）（2）拼图中将角“凑”在一起本质上是改变了角的位置但未改变其大小，哪个知识可以达到这个目的？（平行线）（3）无法移动角我们该怎么办？我们可以在哪里添加？（4）可添几种？（5）在哪里添最简单？

从最初的“把两个角移到一个顶点”到“移动一个角到一个顶点”体现着“凑”的思想，而“凑”的工具则是平行线.后面几种证法则是基于对“还能添到哪里”的思考，这则蕴含着“三角形所在平面内任意一点与三角形的位置关系”的思考与讨论.学生的思维在以上问题的思考中與解决中得到应有的发展，在促进学生对知识综合思考与应用能力发展中实现思维的上升。

3.在“多写”中实现表达的上升

“说起来头头是道，写出来逻辑混乱.”是当前很多学生的通病，本节课中我们不仅要关注“说”还要关学生“写”。七年级时我们学生只要会一些简单初步的几何表达，但八年级需要学生能进行符合逻辑关系的准确表达。因此，本节课我们在“说”中帮助学生跨越思维障碍，更要在“写”中深化理解、建立体系，弥补口头表达中缺乏的细节和严谨，实现表达能力的上升。

“螺旋式上升”是北师大版教材基于学生认知发展的科学编排，授课中我们要认真研究教材联系，充分挖掘教材内涵，创造而不随意的使用教材，在“螺旋”中促进学生多方面能力的提升。

参考文献

[1]曾小豆.三角形内角和定理的精彩教学[J].中学数学教学参考：中旬，2013.

[2]张才宝周杨.交流与碰撞—一次网络教研活动的观摩随想[J].中学数学教学参考：中旬，2013.

[3]义务教育教科书·数学八年级上[M].北京：北京师范大学出版社，2013.

[4]义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012.