张志明 湖北科技学院数学与统计学院

自从21世纪伊始凸函数理论得以成立之后，它作为核心的理论，在各种数学研究中都被有效地运用。在目前普遍适用的高等数学的教科书里，全部有着凸函数的相关概念解释。然而因为不同书籍的不同作用，对它的解释也有着各种差别。当前，由于数学被普遍运用于经济学范畴内，而使得数学从冷门学科一跃成为炙手可热的学科。其中，数量经济学主要通过对数学学科知识的运用来寻求答案，但是数理经济学研究中相关的一些函数普遍具备凸性，这就决定了凸函数在其中的普遍运用，它能够对企业探讨财务资源的有效配备提供助益，从而帮助企业的利益达到最大。

一、凸函数的概念

则称f(x)为I上的凸函数[1]。

定义2 若在定义I上成立不等式

则称f(x)是I上严格的凸函数[2]。

二、关于凸函数的几个重要不等式

（一）Jensen不等式

定理1 （凸函数的基本不等式）设ϕ(x)是间I上的凸函数，则对I中n个数成立不等式，当仅当时等号。

（二）Hadamard不等式

两边积分可得

三、函数凸性在数量经济学中的应用

在市场经济运行之时，生产商的主要要求就是，如何利用尽可能少的物资和成本，取得尽可能大的市场效益和利润。他们会通过预估行为，构造一个效益、成本、价格三者相关的函数公式，之后再通过求取凸函数的极限值，来达到效益最优化、支出最小化的目的。通过对二次倒数求导，来判定函数的凹凸性，确定了函数的凹凸性之后，我们就可以根据凹凸函数的性质，进而计算出最大值和最小值。这是我们利用函数凹凸性的进行经济决策的基础。在实际的生活中，我们对于利用函数的凹凸性，尤其是凸函数进行经济评估时，不是简单的通过计算就可以得到最大值的。我们更需要的是首先对经济问题进行分析，从而在这个过程中提炼出来一种经济学模型来。然后才是对模型进行函数上的数学计算和分析。

（一）利润最大问题

在任何的经济活动中，利润是不可缺少的部分，如何寻找一种利润最大化的方案是我们所要解决的。其中成本函数与生产函数之间也有一种函数关系。当这种函数为凸函数时，对其利润最大值的计算就可以利用凸函数的性质去求解。

例1假设某一个产品，其需求量的函数可以用Q=12000-80P（P的单位为元，表示产品单价）来表示，而该产品总的生产成本为C=25000+50Q，而销售后每一件产品的税费为2元，请求出产品获取最大利润时的单价和最大利润额。

对于如何寻求效益的最大化，首先需要寻找与效益相联系的生产要素的函数关系，先通过一阶导数寻找其稳定点，然后继续求其二阶导数，通过这个导数辨别利润函数是不是凹函数，通过辨别如果是凹函数的话，那么就可以从中选取出最大的数值，也就是最大化的效益。这样一来，复杂的经济现象就变成了数学理论中经常被使用到的函数，把寻求经济效益的最大化转换成一般的凸函数求极值的问题，这是对数学知识的更好的应用，也是数学对经济问题的有效解决

（二）成本最小问题

下面看一下成本最小问题。

例2 现在需要制作一个固定容量为500cm3的罐子，其形状规定为圆柱形，请问最节省制作材料的底面半径值。

解： 设饮料罐的高为h，底面半径为r，则表面积

如果接下来要寻求支出成本最小化，同样通过构造一个函数关系式，运用定理四来辨别这个公式是不是凸函数，如果确认是凸函数，那么就可以从中寻找到最小的数值，也就找到了最小的成本。经济活动中灵活地运用数学方法，能够有效地解决复杂问题，并促进经济发展。

（三）最佳库存问题

在企业的整个运营当中，必须要对库存的数量进行一个很好的衡量。如果库存太少，那么很可能在市场需求量大的时候，失去抢占市场的能力。但是如果库存太多，又有可能导致资金的压力或者商品积压太多的问题。如果一个企业希望自己的运营效果较好，那么管理者首先需要决定产品的库存数量，这其中包括了什么时候对库存进行补充、补的数量又是多少等问题。这个方面也能够利用函数关系，求取凸函数的极限值，从而有效解决相关库存难题。

例3 一个商品的年度总销售额为10万件，如果设定这些商品是在不同时间进行生产的，而每件商品的生产成本是100元，而生产企业中的平均库存量是生产批量的一半，而每一个商品在仓库放一年，需要支出成本零点零五元。那么，现在来测算，如果令每一年的生产成本与支出库存费用总数最小化，每次应该生产多少数目的产品。

解： 设每年的生产准备费与库存费之和为W，批量为x，则

总结来说，在求解关于经济问题的最优化时我们可以把它看成是数学中的求最值问题。步骤为：

（1）对经济问题中的目标函数与相关联因素的函数关系进行准确分析；

（2）对函数关系式求一阶导数，求出稳定点；

（3）对函数进行二阶求导，根据凹凸性去确定函数特性。

（4）当知道问题有极值存在时，接下来判断极值点是否是唯一的，当唯一时则函数在该驻点有极值，这就解决了经济问题中的最优化问题了。