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(1.中钢集团马鞍山矿山研究院 金属矿山安全与健康国家重点实验室，安徽 马鞍山 243004； 2.河海大学 江苏省岩土工程技术工程研究中心， 南京 210098； 3.河海大学 岩土力学与堤坝工程教育部重点实验室， 南京 210098)

1 研究背景

岩石作为一种天然材料，其内部蕴含各种先天缺陷，如微裂纹、孔隙、孔洞、节理、裂隙等，在力学性质上表现出不连续、不均匀和各向异性的特征[1]。由于岩石赋存于一定的地质环境中，这些缺陷为地下水提供了贮存和运移的场所。水压力改变岩石内部的应力-应变状态，使得岩石的力学特性变得十分复杂。因此，研究水压力作用下岩石的变形损伤规律显得尤为重要。

目前前人对水压力作用下岩石的变形特征作了研究：邢福东等[2]、周青春等[3]等通过岩石在孔隙水压-围压作用下的三轴压缩试验，得出峰值破坏强度与围岩呈正相关关系，与孔隙水压力呈负相关关系的结论；李玉寿等[4]研究了煤岩在不同围压和水压作用下的变形特性和声发射特征，得到煤岩的峰值强度、残余强度随围压增高而增大，随孔隙水压力增高而降低的结论，并且屈服前声发射事件较少，屈服后声发射才趋于活跃。在岩石统计损伤本构模型研究方面：温韬等[5]建立岩石统计损伤模型，并进行了耗散能的分析；周永强等[6]考虑残余强度和阈值影响建立岩石统计损伤模型；康亚明等[7]选取Mises屈服强度准则，基于微元强度服从Weibull分布，建立了水压力作用下煤岩的损伤本构模型；王伟等[8]通过有效应力原理引入孔隙水压力，采用Drucker-Prager准则(D-P准则)强度准则构建了考虑孔隙水压力的岩石统计损伤本构模型。但是，曹文贵等[9]、石崇等[10]、曹瑞琅等[11]、王军保等[12]在建立统计损伤模型时都指出D-P准则和摩尔-库伦准则(M-C准则)存在不足，选择采用Hoek-Brown准则建立的模型具有较好的适用性，但是他们建立的模型均没有考虑水压力的作用。

因此，在前人研究的基础上，本文在多孔介质理论框架内，考虑水压力对岩石力学特性的影响，采用有效应力原理，基于Hoek-Brown强度准则，建立水压力作用下岩石统计损伤模型；并根据残余强度和峰值强度对模型进行修正，通过室内试验对模型进行验证，以期所建的模型能够反映水压力作用下岩石的变形特性。

2 水压力作用下岩石统计损伤本构模型的建立

根据Lemaitre应变等价性理论，岩石的损伤本构关系可以表示为

(1)

水压力作用下岩石的损伤本构关系，可以根据王伟等[8]的研究，在多孔介质弹性理论框架内，渗流应力耦合作用下的有效应力张量可表示为

(2)

岩石受压过程中，裂纹的产生、扩展和汇合具有随机和统计的特征。把岩石看作是一系列有缺陷的微元体，岩石微元强度准则可以统一表示为

f(σij)-k=0 。

(3)

式中：f(σij)为应力函数;k为材料参数。

(4)

假定岩石微元强度服从Weibull随机分布，即

(5)

式中n，F0为Weibull分布参数。

把式(5)代入式(4)计算可得损伤变量D为

(6)

由于M-C准则和D-P准则作为统计损伤模型的破坏准则时，均存在不足[10-11]，因此本文采用Hoek-Brown强度准则描述微元强度，Hoek-Brown强度准则用不变量可以表示为[12,14]

(7)

其中：

(8)

(9)

对于常规三轴试验，轴向应力σ1、第二主应力σ2、围压σ3这三者满足σ1>σ2=σ3，此时θ为30°。把式(2)代入式(7)，根据有效应力和名义应力的关系可以将Hoek-Brown强度准则变换为

(10)

假定岩石的应力-应变关系服从广义胡克定律，主方向的应力-应变关系可以表示为

(11)

σ1=Eε1(1-D)+2μσ3+(1-2μ)pw。(12)

把式(12)代入式(10)，得到用名义应力表示的Hoek-Brown强度准则为

(13)

根据王伟等[8]、张明等[15]的研究，试验中记录的轴向偏应力σ1t实际上为轴向应力σ1和围压σ3的差值，即

σ1t=σ1-σ3。

(14)

轴向应力施加前的初始应变ε10可以表示为

(15)

真实的轴向应变ε1为试验测量应变值ε1t与初始应变ε10之和，即

ε1=ε1t+ε10。

(16)

把式(6)、式(14)—式(16)代入到式(12)—式(13)就可以得到水压作用下基于Hoek-Brown准则的统计损伤本构模型，即

(17)

其中，

A1=Eε1t+(1-2μ)(σ3-pw) 。

杨圣奇等[16]、曹瑞琅等[11]对损伤变量进行修正并用于描述岩石残余强度特征。本文根据岩石变形特征，在2种特征的基础上对损伤变量修正系数η重新定义为

(18)

式中：σr为峰后残余强度；σ1p为峰值强度。

损伤变量修正后的有效应力可以表示为

(19)

依照前面的推导过程，可以建立水压力作用下基于残余强度修正的岩石统计损伤模型为

(2μ-1)(σ3-pw) 。

(20)

其中,

(21)

3 模型参数确定

在统计损伤本构模型研究中，现有的确定统计参数的方法有线性拟合法[8, 12-13]、峰值点法[11, 16-17]、反演分析法[15]、曲线拟合法(非线性回归法)[18]等。峰值点法是利用峰值点处应力取得最大值以及峰值点处斜率为0，建立方程组求解模型参数，其优点是能够在峰值点处能够很好地拟合，缺点是需要求解方程导数，求解模型参数较为繁琐。曲线拟合法是利用最小二乘原理，对试验数据进行非线性拟合处理来求解模型参数，优点是操作简单方便。本文分别采用峰值点法和曲线拟合法进行模型参数的求解，给出模型计算参数。

设P点(ε1p，σ1p)为全应力-应变曲线的峰值点，利用峰值点法计算模型参数需要满足2个条件：

(1)峰值点处模型等式两边相等。

(2)峰值点处的导数为0。

将峰值点代入式(20)可得

(2μ-1)(σ3-pw) 。

(22)

其中，

A2=Eε1p+(1-2μ)(σ3-pw) 。

对式(20)两边进行求导，将峰值点(ε1p，σ1p)代入，使得导数等于0,即当ε1t=ε1p，且σ1t=σ1p时，有

(23)

联立式(22)和式(23)可以求得

(24)

其中：

如果不考虑峰后残余强度的影响，不对损伤变量进行修正，可以令η=1，得到没有损伤修正的模型参数值。

图1 不同水压力作用下理论曲线与试验曲线对比Fig.1 Comparison of curves between theoretical andexperimental results under different water pressures

4 模型验证与参数分析

4.1 模型验证

通过对文献[4]的试验数据进行分析，求出Hoek-Brown准则经验参数m=40.6，岩石单轴抗压强度平均值为σc=21.8 MPa。选取围压为8 MPa，孔隙水压力为0，1，3，5 MPa的岩石应力-应变曲线，泊松比处理后为0.32，采用修正后的本构方程对试验结果进行计算，得到不同水压力作用下试验曲线与修正模型理论曲线对比结果，如图1所示，模型参数见表1。

表1 不同水压力作用下统计损伤模型参数Table 1 Parameters of the statistical damage modelunder different water pressures

从图1可知，试验数据包含有残余强度，因此采用基于残余强度修正的统计损伤本构模型对试验数据进行计算。结果表明：修正后的统计损伤模型与试验数据吻合较好，能够描述岩石的残余强度，随着水压力的增大，吻合度越来越高；通过比较未修正的模型和修正模型的结果发现，如果试验数据包含残余强度，采用峰值点法的未修正模型可以在峰值前段和峰值点处拟合效果很好，但在峰值点后模型拟合得较差，也不能反映岩石的残余强度；采用峰值点法修正后的模型，在峰后段能够反映出软化特性，同时也可以反映出岩石残余强度；采用曲线拟合法的未修正模型在整个变形过程中，吻合度都比较差；而采用曲线拟合法的修正后模型，吻合度最好。

从表1可以看出，随着水压力的增大，峰值强度和残余强度都呈减小趋势，修正系数在0.75左右，模型参数n随着水压的增大有增大的趋势，而参数F0则呈现出减小的趋势。对比曲线拟合法和峰值点法求解的参数值可以发现，曲线拟合法求得的参数规律性不强，而峰值点法计算的参数规律性较明显，所以建议采用峰值点法进行参数求解。

综合图1和表1的分析可知，本文建立的水压作用下的统计损伤模型能够较好地描述水压作用下岩石的变形规律和特征，证明所建模型具有合理性，模型参数的求解建议采用峰值点法。

4.2 模型参数规律分析

4.2.1 损伤修正系数

选取文献[4]中水压力为3 MPa时的试验数据，保持其他参数不变，损伤修正系数从0.5逐渐增大到1，研究损伤修正系数对岩石全应力-应变曲线的影响，结果如图2所示。

图2 损伤修正系数η对岩石全应力-应变曲线的影响Fig.2 Influence of damage correction coefficient η onthe full stress-strain curve

由图2可知，损伤修正系数的变化对应力-应变曲线峰值前段没有影响，对峰后段有显著的影响，即随着损伤修正系数的增大，岩石的残余强度逐渐减小。

4.2.2 模型参数n和F0

同样地，选取文献[4]中水压力为3 MPa时的试验数据，保持其他参数不变，分别使模型参数n从6增加至14，模型参数F0从1.00×105增加至1.20×105，分析模型参数n和F0对岩石全应力-应变曲线的影响。结果如图3所示。

图3 模型参数n和F0对岩石全应力-应变曲线的影响Fig.3 Influences of model parameters n and F0 onthe full stress-strain curve

由图3(a)可知，随着n的增大，岩石的脆性越来越明显，参数n主要反映岩石脆性特征以及岩石材料内部微元强度分布集中程度，n越大，岩石材料的脆性越高。从图3(b)可以看出，随着参数F0的增大，岩石的强度增大，表明参数F0反映岩石宏观统计平均强度的大小。这与文献[7]和文献[10]的结论相一致。结合分析图1和表1，结果表明随着水压力的增大，岩石的脆性逐渐增大，岩石的强度逐渐减小。

4.2.3 水压力对损伤变量的影响

利用式(6)分析文献[4]中围压8 MPa时的结果，得到不同水压力pw下岩石的损伤变量-应变曲线，如图4所示。从图4可以看出，水压力不变的情况下，岩石的损伤程度在加载初期几乎为0，但随着应变量的增大，岩石的损伤程度会在某一时刻开始增大，并且是急剧变大，直到岩石破坏，破坏前损伤速率又逐渐减小。

图4 不同水压力作用下岩石损伤变量与应变的关系
Fig.4 Relationship between water pressure and damagevariables under different water pressures

5 结 论

(1)基于Hoek-Brown准则建立水压力作用下的岩石统计损伤本构模型，并利用残余强度对模型进行修正。通过试验数据验证了模型的合理性，比较2种不同的模型参数确定方法，发现峰值点法效果较好，计算出的参数规律性更好，建议采用峰值点法确定模型参数。

(2)通过分析损伤修正系数η和模型参数n，F0对岩石全应力-应变曲线的影响可见，损伤修正系数η越大，残余强度越小；参数n反映岩石的脆性，其值越大，岩石的脆性度越高；参数F0反映岩石的宏观强度，F0越大，岩石的强度越高。此外，岩石的损伤程度随着水压力的增大而增大。