张振中 张权 杨红倩 张恩华

摘要：考虑一类由谱正α-稳定过程驱动的SIS（易感一感染一易感）模型.首先证明了全局正解的存在唯一性;其次，利用Khasminskii引理和Lyapunov方法，得到了平稳分布存在唯一性的条件，并证明了模型的指数遍历性;最后，给出了模型灭绝的条件.

关键词：谱正α稳定过程; 平稳分布;

指数遍历性;

灭绝性

中图分类号：0211.63

文献标志码：A DOI：10.3969/j.issn.1000-5641.2019.01.001

0引言

传染病是一种可以从一个人或其他物种，经过各种途径传染给另一个人或物种的感染病.每年有大量人口死于传染性疾病.据世界卫生组织报告显示，每年大约有100万人死于艾滋病.140万人死于肺结核.在传染病的研究中，数学模型一直发挥着重要作用.近年来，许多研究人员建立了一些数学模型来研究传染病的传播.1927年，Kermack等首次提出了SIR（易感一感染一康复）模型来研究传染病的传播.该模型将人群分为易感人群（s），感染人群（I）以及康复人群（R）.模型中的个体在最初属于易感人群，在某个时间点感染疾病变为感染人群，经过一段时间之后变为康复人群并免疫疾病.然而由于大多数疾病并不能完全免疫，所以不同于SIR模型，传染病模型中另一个典型的模型为SIS模型.此时疾病的传播方式为：易感者在某个时期感染疾病，经过治疗后康复重新成为易感者.为研究此类疾病，1984年，Hethcote和Yorke[提出了如下SIS模型.

对于研究sIs傳染病模型，一个很重要的内容是基于感染者的历史观测值，预测感染者的未来人数的区间估计.由于历史数据为时间序列的数据，一般不相互独立.一个自然的问题是，在什么条件下这些时间数据近似同分布？精确地说，这些数据的对应过程是否具有平稳性？进一步，对应从不同初始值出发，过程（x（t））在什么条件下遍历？注意到，如果过程（z（t））遍历，则我们可以利用遍历定理来估计过程的参数.此外，如果过程不是遍历的，过程是否几乎处处收敛到0？这在传染病模型中，称之为几乎处处灭绝.

综上所述，本文的主要目的是研究以下3个问题.

（1）在什么条件下，模型（6）有唯一全局正解？

（2）在什么条件下，模型（6）有唯一的平稳分布且指数遍历？

（3）在什么条件下，当t趋近无穷时，t时刻的感染者x（t）以概率1趋近于灭绝？

本文将部分回答以上3个问题.