郭雨萌

(河北省衡水第一中学 053000)

对于复合函数h(x)=g[f(x)]，本文研究它的单调性与其内层函数u=f(x)以及外层函数y=g(u)的单调性之间有何必然联系.

情形1:f(x)是增函数，g(u)也是增函数.

定义法：任取x1,x2,且x1

情形2:f(x)是增函数，g(u)是减函数，同上可得h(x)为减函数.

情形3：f(x)是减函数，g(u)是增函数，同上可得h(x)为减函数.

情形4：f(x)是减函数，g(u)也是减函数，同上可得h(x)为增函数.

将以上四种情形汇总为如下表格：

内层函数u=f(x)增函数增函数减函数减函数外层函数y=g(u)增函数减函数增函数减函数复合函数y=g[f(x)]增函数减函数减函数增函数

由上表可知，当内层函数与外层函数的单调性相同时，复合函数为增函数；当内层函数与外层函数的单调性相反时，复合函数为减函数．简称“同增异减”．当有三个或者多个函数复合时，可以运用上述规律，将其不断转化为两两复合．

例1 已知函数f(x)=2x，g(x)=|2x-1|+|x+3|，求f(g(x))的单调区间．

分析f(g(x))是一个复合函数，且外层函数是一个增函数，故欲求其单调增区间只需求内层函数的单调区间即可，内层函数是一个绝对值函数，应先将其变成分段函数来研究内层函数的单调性，求出其单调区间．

解内层函数g(x)=|2x-1|+|x+3|可化为

点评本题考点是复合函数的单调性，考查复合函数单调区间的求法.由于本题是一个二层复合的函数，故其判断规则是同增异减，即内外层函数的单调性相同时复合函数是增函数，不同时是减函数．应熟练掌握此判断规则，并在解题中灵活运用之．

例2已知y=2x2-2ax+3在区间[-1，1]上的最小值是f(a)，试求f(a)的解析式，并说明当a∈[-2，1]时，g(a)=log1/2f(a)的单调性．

点评本题考点是复合函数的单调性，用分类讨论的方法研究函数在闭区间上的最值问题，再由复合函数的单调性判断函数在闭区间上的单调性问题.本题综合考查了复合函数单调性的判断规则，综合性较强．

综上即实数a的取值范围是(1，3]∪(-∞，0)．

点评对于复合函数的单调性问题，本题不仅要关注单调性，更要关注定义域；因为单调性必须在定义域的子区间上讨论，做题时要建立定义域优先的原则．由复合函数的定义知，内层函数的值域是外层函数定义域的子集，所以外层函数的单调性是在内层函数的值域上讨论的．