■安徽省阜阳市太和中学 任海涛

二项式定理是初中所学多项式乘法的继续,所研究的是一种特殊形式的多项式即二项式乘方的展开式,在高考中备受青睐,下面就二项式定理在高考中的几类题型加以归纳总结,以供同学们参考。

题型一 通项问题

例1的展开式中,x3的系数为__。

解析的展开式的通项为

例2在的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项为__。

解析：因为二项式展开式中所有项的二项式系数之和为2n=256,所以n=8。

二项式展开式中的通项为Tr+1=

点评：本题研究的是二项展开式中的常数项,对于此类问题可以从通项入手,也可以采用指数分配的原则进行处理。展开式中的常数项出现在第3项,此时r=2,说明的指数为6,而的指数为2,也就是说幂指数8按3∶1进行了分配,常数项为C(-2)2=112。

题型二 系数配对问题

例3的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为__。

解析：对于,令x=1得,各项系数和为1+a=2,故a=1。

故令5-2r=-1,得r=3。

令5-2r=1得r=2。

点评：对于求几个多项式乘积的展开式中的特定项问题,一般采用双通项法解决,所谓双通项法就是根据多项式与多项式的乘法法则,得到(a+bx)m(s+tx)n的展开式中的一般项为的项未必只有一项),然后根据题目中对字母的指数的特殊要求,确定r,k所满足的条件,进而确定r,k的值。

题型三 多项式展开问题

例4(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为__。

解 法 1：(x2+x+y)5=,易知令r=2,则(x2+x)3的展开式的通项为Tk+1=

令k=1,可得x5y2的系数为

解法2：(x2+x+y)5表示5个因式x2+x+y相乘,要得到x5y2项,只需要先从5个因式中选2个因式中的y,再在其余3个因式中选1个x即可,故x5y2的系数为

点评：解法1是利用转化思想把三项式转化为二项式来解决,解法2是利用二项式定理的推导方法来解决,本质是利用加法原理和乘法原理,用此方法可以直接求展开式中的某特定项。

题型四 展开式系数和差问题

例5设(1-2x)2016=a0+a1x+a2x2

解析：因为Tr+1=Cr2016(-2x)r=, 所以a2k-1＜0,a2k＞0(k∈N*)。

点评：赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法,一般地,要使(a+x)n的展开式中项的关系变为系数的关系,常令x=0得常数项,令x=1可得所有项的系数和,令x=-1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差。

题型五 系数最大项问题

例6设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=__。

解析：根据二项式系数的性质知(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为

(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值,故,解得m=6。

题型六 近似计算问题

例71.00355精确到0.001的近似值为__。

解析：1.00355=(1+0.0035)5≈1+5×0.0035=1.0175≈1.018。

点评：近似计算的处理方法为：当a的绝对值与1相比很小且n不大时,常用近似公式(1±a)n≈1±na,但要注意的是应注意a的条件,以及对精确度的要求,若精确度要求较高时,则可使用更精确的近似公式(1+a)n进行计算。

题型七 等式不等式证明问题

例8求证：对于一切n∈N*,都有2≤

点评：用二项式定理证明不等式时,应注意构造二项式,对展开式的项进行放缩以达到求和的目的。