叶伸章

【摘 要】几何定理是初中数学的主要内容，定理探究是得出几何定理的必要手段。定理探究的步骤如下：从图形中发现问题;分析结构关系和探究内容、根据探究需求，规划探究方案，归纳结论，掌握数学思想方法;总结方法和步骤，形成基本活动经验。同一堂课经过多遍的教学，但每次教学都能发现很多问题，总感觉有那么多的“遗憾”。几何定理在教學中的探究实践研究，既迫切又重要，是几何教学的一个重要过程。

【关键词】发现;探究;几何定理;出发点;科学设计;引导

《数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”，初中几何定理探究式教学设计一般要遵循下面五原则：课题性、过程性、自主性、开放性和创造性。但在实际教学中往往存在诸多问题：探究形式上搞花样式探究，形式花样但内容空洞，探究效率得不到有效发挥;探究过程赶场式，重过程但效果差，学生深入探究的效程度不够，得不到全面发掘;探究组织热烈式，课堂上很是热闹，注重氛围但课堂缺失探究深度，限制了学生的思维发展;探究内容偏离太远、探究指导不到位等。这些都会导致学生缺乏足够的热情，得不到有效发展。各种因素都会影响到课堂探究的有效性，所以，要想提高定理探究的有效性，在教学、过程设计与教学引导上都要研究深入。本文通过两个探究教学课例探讨几何定理探究教学有效性策略及面临的问题。

案例一：“含30°角的直角三角形的性质”

教材特点：本节课是八年级上“13.3.2等边三角形——含30°角的直角三角形的性质”，本节课主要是“含30°角的直角三角形”概念、性质定理的证明和定理的应用，所以本节课是一节几何性质定理探究课。

复习提问：1.等边三角形的性质有哪些？2.如何判定一个三角形是等边三角形？

学生小学对等边三角形有了初步认知，能轻松说出性质，但判定“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这条知识是学生不大掌握的，但这条却是本节课用得最多的判定定理，所以在学这个判定定理时，需要透彻探究，才能理解掌握。

第一次活动：

第二次活动：

教学预设：从学生感兴趣的折纸入手，拿一个等边三角形，思考如何折叠？折痕是什么？折叠后成什么图形？图形有什么特点？

学生：折痕（底边上的高、顶角平分线、底边上的中线）所在的直线;“三线合一”。

得到一个含30°角的直角三角形。

教师：在Rt△ABC中∠A=30°，猜想∠A所对的直角边BC和斜边AB的大小关系。

学生：因为Rt△ABC是从等边三角形ABD折叠得到的，△ABC和△ACD重合且全等，所以得到BC是BD的一半，从而猜想BC也是AB的一半。

学生在拼接三角形或折叠等边三角形的过程中，自然地由特殊30°角的直角三角形引导到边的关系;学生通过动手操作，使得对于一个知识点的理解更加直观。

证明猜想：（本节课的重难点，也是重要的教学探究过程）

得到结论：含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

这个定理的探究过程方法较多，需要用到之前学过的定理也很多，所以孩子在做探究的前提是要掌握定理。绝大部分孩子都能够掌握第一、二种的辅助线添加法，三、四种比较困难，涉及到辅助线添加方法（通常有倍长法、截取法、作高、角平分线等方法），构造等边三角形或者全等三角形进行证明。几何定理跟几何图形是紧密联系的，添辅助线的方法通常是凭借经验和规律，紧抓题意（比如：角平分、高、取长补短等），将基本图形补充完整的方法，因此“添加辅助线”也可以称为“补图”，根据题目的条件和图形的特点，结合要证明的结果，都有一定得引导思路，防止乱添线。

案例二：探究三角形中边与角之间的不等关系（“大边对大角”“大角对大边”）

通过观察图形，猜想性质。在△ABC中，边AC对∠B，边AB对∠C，同学们通过肉眼观察可得到∠C大于∠B，故猜想大边对大角。

验证猜想：我们通过折纸和添加辅助线验证了猜想是否正确，并能否用学过的知识来证明你的猜想？

探究：“大边对大角”，将边、角大小进行比较，通过折叠转移的方法。

（1）沿角平分线折叠：作∠BAC的角平分线AD，将△ADC沿AD翻折（或将△ADB沿AD翻折）（图5、6）;（2）沿高翻折：作BC边的高AD，将△ADC沿AD翻折（或将△ADB沿AD翻折）（图7）。

探究：“大角对大边”，让学生模仿“大边对大角”的探究方法，说明：“在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角对大边”（图8）。

从对“大边对大角”“大角对大边”的探索过程中，你有何收获？（1）折纸对我们添加辅助线的启发;（2）利用等腰三角形和轴对称的性质（截长补短）构造全等，将角进行转移，转化为“一个角为另一个角所在三角形的外角”。将边进行转移，转化为“两边之和大于第三边”。

对两次课堂的实际探究教学效果比较，可以肯定几何定理的探究必须以学生为教学的主要对象，努力激发学生探索的欲望，使其积极参与整个探究过程，并能从发现中总结规律，发表探究意见。要取得这样的较好的效果，重点在于学生有效地感知知识的生成过程。

几何定理探究教学的有效性，在实施教学中要注意以下几个方面：

1.找准探究的出发点，符合学生探究的认知水平，是有效探究的前提

学生所面临的学习环境和新的学习任务不是在零碎的空间里开始的，而是从他们现在的特定行动倾向和独特的经验开始。这明确地揭示了学生现在的知识、经验、兴趣等基础是探索的起点。正确理解学生的认知水平要求，并满足他们的要求才是有效授课的前提。以现有的知识和经验、信息为基础，通过简单的思考整理得出自己的解释和结论。

2.掌握要点，科学设计教学是有效探究几何定理的要求

一节课也就是45分钟，涉及讲评、复习、新课、练习、布置作业、总结等多个教学环节，要想在有限的时间里取得最大的教学效益，就必须对教学进行科学、合理的设计。从复习引入，到活动方案，再到定理探究和证明，每一个步骤都要设计好，把握探究的难点，理清教学程序，避免无效的教学环节。对于一个知识点，有时需要设置两三个教学活动，一个教学活动，有时也需要设计两三个探究。因此，找到探索的关键，简化和避免无效环节是一个重要的策略。

3.有效的引导方法是学生体验学习的重点

教师的指导行为在学生的探究中起关键作用，教师是学生研究的支持者。不仅要对课程进行科学合理的预测，而且要有效地规范和指导正在进行的探究。此外，学生也必须事先准备好课堂所需的材料。学生的思维各有差异，好的学生很快就可以进入分析和解答，但很大一部分学生是没办法的，特别是对于缺乏学习兴趣或基础较薄弱的，这时就需要教师用更加精确的语言营造课堂氛围，用更加合理的点播方式启发学生学习数学，语言是教师指导思想的主要载体，语言的精确性直接影响到教师的指导力量。课堂中，要注意适当地指出学生的不足之处，也要及时肯定学生的闪光点。

笔者在近几年的几何定理探究教学过程中，取得了很多成效，所任教的两个班级学生在学习几何时，在图形建模、问题情境、逻辑能力、创新思维等方面都有很大提升。在初中数学几何定理教学中实施探究教学符合现在的学情，也是有效提升课堂教学效率的重要途径。在新课标的大环境下，让我们做一个课堂探究引路者，让我们的学子走得更好更远，也让几何课堂变得高效、合理。

【参考文献】

[1]余美霞.“初中数学几何概念和定理教学探讨”[J].快乐阅读，2015（10）