伯努利双纽线右半有界区域内广义解析函数类的三阶Hankel行列式*
2019-05-27汤获张海燕牛潇萌
汤获，张海燕，牛潇萌
(赤峰学院数学与统计学院， 内蒙古 赤峰 024000)
设C表示复平面，A表示在单位圆盘D={z:|z|<1}内解析且适合如下形式
(1)
的函数类。
设函数f(z),g(z)在单位圆盘D内解析，如果存在D内的Schwarz函数ω(z)，满足ω(0)=0，|ω(z)|<1，使得f(z)=g(ω(z))，则称f(z)从属于g(z)，记为f(z)g(z)(见文[1-2])。
用P表示在单位圆盘D内具有如下形式
p(z)=1+p1z+p2z2+
(2)
且满足条件Re(p(z))>0的解析函数族。若p(z)∈P，则|pn|≤2(n=1,2,)(见文献[2])。
1996年，Sokol 和 Stankiewicz在文[3]中引入了伯努利双纽线右半有界区域内的解析函数类SR*，并讨论了该类函数的凸半径问题。
定义1 设SR*表示定义如下
图1 函数类SR*的图像(其中Fig.1 The graph of the function classSR*
(3)
{ω∈C:Reω>0,|ω2-1|<1}的伯努利双纽线右半有界区域内(见图2)。
图2 函数类的图像
图3 函数类的图像
1976年，Noonan和Thomas 在文[4]中引进函数f的q阶Hankel行列式Hq(n)，其定义如下：
其中n≥1，q≥1。
特别地，若f∈A,a1=1，则有
1 若干引理
为了证明本文主要结论，我们需要如下引理。
引理1[17]如果p(z)∈P适合式(2)，则有
(4)
且
(iv)如果υ=1，则当且仅当p(z)是使得υ=0时等号成立的函数的倒数。
引理2[17]如果p(z)∈P适合式(2)，则对于任一复数υ，有
引理3[18]如果p(z)∈P适合式(2)，则存在复数x,z满足|x|≤1,|z|≤1,使得
2 主要结果及其证明
且
并且这些结果都是精确的。
(5)
利用式(5)和从属关系，有
(6)
定义函数
显然，p(z)∈P，这意味着
(7)
综合式(6)和式(7)，可得
而
1+(1+λ)a2z+(1+2λ)a3z2+
(1+3λ)a4z3+
分别比较上两式中z,z2和z3的系数，并经简单计算可得
机组电源由于发电机输出受电机磁通限制等一系列因素制约，输出频域不可能太广。而对于电力电子变频器为核心的静态变频电源而言，可以轻松实现宽频域输出。例如，本厂重型试验站和18 000 kW试验站均实现了1～120 Hz输出或者12～80 Hz正弦满容输出，而风电试验站和直流试验站的机组电源设计上均只能满足45～65 Hz满容输出。
(8)
(9)
(10)
进一步，根据式(6)和式(7)，有
再用引理1，可得
定理1证毕。
证明由于
(11)
(12)
证明由式(8)-式(10)，有
设p1=c∈[0,2]，|x|=t∈[0,1]，则由三角不等式及引理3，可得
|32c(1 + 2λ)2(4-c2)(1-t2) + 8λ2(4-c2)c2t+
16(4 + 16λ+ 12λ2+λ2c2)(4-c2)c2t2+
(1 + 4λ+ 5λ2)c4|
记
[32c(1+2λ)2(4-c2)(1-t2)+
8λ2(4-c2)c2t+16(4+16λ+12λ2+λ2c2)
(4-c2)c2t2+(1+4λ+5λ2)c4]
假设F(c,t)在矩形区域[0,2]×[0,1]的内部点存在上界，将上式关于t求导，有
[32(4+16λ+12λ2+λ2c2)(4-c2)c2t-
64c(1+2λ)2(4-c2)t]
maxF(c,t)=F(c,1)=
[8λ2(4-c2)c2+16(4+16λ+12λ2+λ2c2)·
(4-c2)c2+(1+4λ+5λ2)c4]
令
[8λ2(4-c2)c2+16(4+16λ+12λ2+λ2c2)·
(4-c2)c2+(1+4λ+5λ2)c4]
则
[190λ2c-96λ2c3-32(4+16λ+12λ2+λ2)c+
4(1+4λ+5λ2)c3]
[190λ2-288λ2c2-32(4+16λ+12λ2+λ2)+
12(1+4λ+5λ2)c2]
因为c=0是G′(c)=0的根，且G′′(c)<0，所以函数G(c)在c=0处取得最大值。 综上可知，函数F(c,t)在t=1，c=0处取得最大值，即有
定理3得证。
(13)
证明由式(8)-式(10)，有
设p1=c∈[0,2]，|x|=t∈[0,1]，则由三角不等式及引理3，可得
|16(1+λ)(1+2λ)(4-c2)(1-t2)+
(8+24λ+8λ2)(4-c2)ct+8(1+λ)(1+2λ)·
(4-c2)ct2+(2+6λ+2λ2)c3|
记
[16(1+λ)(1+2λ)(4-c2)(1-t2)+
(8+24λ+8λ2)(4-c2)ct+8(1+λ)·
(1+2λ)(4-c2)ct2+(2+6λ+2λ2)c3]
假设F1(c,t)在矩形区域[0,2]×[0,1]的内部点存在上界，将上式关于t求导，有
[(8+24λ+8λ2)(4-c2)c+
16(1+λ)(1+2λ)(4-c2)ct-
32(1+λ)(1+2λ)(4-c2)t]
maxF1(c,t)=F1(c,0)=
令
G1(c)=
则
定理4得证。
(14)
(15)
(16)
[(1-λ)f(z)+λzf′(z)]2=z2(1+ω(z))
其中ω(z)是Schwarz函数且满足
ω(0)=1,|ω(z)|<1,z∈D
[(1-λ)f(z)+λzf′(z)]2=
[z+(1+λ)a2z2+(1+2λ)a3z3+
(1+3λ)a4z4+]2
所以有
[z+(1+λ)a2z2+(1+2λ)a3z3+
分别比较上式中z3,z4,z5,z6的系数，并经简单计算可得
又因为|ω(z)|<1，|z|≤1，|Cn|≤1，故
定理5得证。
|H3(1)|≤
证明由于
故由三角不等式，可得
(17)
将式(11)～(16)代入式(17)，即得定理6。
