周洋

摘要：在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。对专用服装的设计研究，主要通过建立数学模型改变其不同隔层材料的参数值，观察不同条件下假人皮肤外侧温度随时间的变化规律，从而为其服装设计提供理论性参考。该文针对2018年全国大学生数学建模竞赛A题的高温作业专用服装设计问题进行求解，运用了热传导理论、围护结构热阻计算及遗传算法，构建了热传导公式和相应的Logistic模型，得出了在题目要求的约束条件下各层的厚度大小的解，最后结合实际给出模型的最优解。

关键词：Logistic模型；遗传算法；热传递公式；非线性拟合

中图分类号：TP391 文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2019）07-0273-04

Abstract： When working in high temperature environments， people need to wear special clothing to avoid burns. The design research of special clothing mainly changes the parameter values of different barrier materials by establishing mathematical models， and observes the variation law of the outer skin temperature of the dummy under different conditions with time， thus providing a theoretical reference for its garment design. This paper solves the problem of high-temperature operation special clothing design for the 2018 National College Students Mathematical Modeling Contest， and uses the heat conduction theory， the thermal resistance calculation of the enclosure structure and the genetic algorithm to construct the heat transfer formula and the corresponding Logistic model. The solution of the thickness of each layer under the constraints required by the title， and finally the optimal solution of the model is given in combination with the actual.

Key words： logistic model； genetic algorithm； heat transfer formula； nonlinear fitting

1 背景

在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。为了降低研发成本、缩短研发周期，对专用服装的设计研究，主要通过建立数学模型改变其不同隔层材料的参数值，观察不同条件下假人皮肤外侧温度随时间的变化规律，从而为其服装设计提供理论性参考。

2 模型的建立

通过相关资料的查阅，将高温防护服看作围护结构[1]，每个隔层都是稳态且这四种介质都是均匀的。我们查阅相关文献资料获得了热量计算公式，热阻与热传递效率和热阻与厚度的关系式，加上题中需要考虑一个分层前后温度的差值，于是我们设立以下的数学符号：

2.1 问题的分析

由表2可知，利用拟合后的Logistic模型[7]与相应的实际温度吻合较好，而且相对误差也比较小，因此有理由利用求得的Logistic模型进行后面的模型计算。此时u2的关于t的数学关系式是依托所给人体外侧数据所得，于是这个求得的数学表达式是适用于空气层于人体外侧的温度变化。逐层求得各个分层的温度，由此得到第一问的温度分布数据。

2.3 问题二的求解

在这一问当中我们打算采用由外到内的方法来依次分析温度变化的趋势，从而最后分析到假人皮肤外侧的温度。因为外部温度是逐次影响到内部的温度，因此依据上面的分析我们就可以依次求解出由外到内的各个时刻的温度以及内部温度的表达式，然后在满足题目约束条件下选择最优解。

由问题分析我们知道模型是由外到内的一个递归模型，在这个模型里面，未知参数有时间t，有各个层的关于C的参数，以及题目要求我们所求得Ⅱ层的厚度。在这一问当中，约束方程可以为以下形式：

因此在這一问当中我们利用60分钟这个极限条件去想办法算出相应时间点的C1，C2，C3，C4的值。我们可以利用问题一题目给出的数据以及第一问模型所计算出来的三层的温度变化，通过将时间t设置为3600s（60*60s）作为初始值计算出各层的C值并带入到该问题当中进行求解。结算得到的C值如下：

因此根据上面所求得的60min情况下对应的C值，然后根据式（8），令u4=65，u0=47，时间t=3600，将l2作为未知量，解出关于Ⅱ层的厚度的不等式为l2 >2.043 （单位mm）。

根据以上的两个约束条件，得到最终的关于Ⅱ层的厚度的取值可以为0.6mm、2.043mm。考虑到题目当中为了降低研发成本、因此可以选择最薄的厚度作为最后的最优解，因此选择0.6mm或者2.043mm均可。

2.4 问题三的求解

遗传算法[8]（GA）是利用自然界存在的“物竞天择，适者生存”这样的一个自然进化规律的算法模型。自然界在进行物种的选择过程当中发生基因的交叉、变异、选择等各种变化，并通过漫长的时间来筛选出最有能力适应自然环境的生物个体，从而得到最后的優化物种。

上面求解过程发现当中涉及微分方程的求解，因此各个层之间会出现C系数，设相应的系数为C1、C2、C3、C4，由于当环境外侧温度变为80℃的时候，相应的C系数变化不大，且C系数只与时间的变化有关，因此可以利用已有的数据以及通过模型求得的数据来计算出相应的C值。题目要求在工作30分钟的时间内保证假人皮肤外侧温度不超过47℃，因此考虑最坏的情况，当时间刚好为30分钟的时候。这时候就可以通过时间t为30分钟求得C系数。

简化后求得C2系数大小为-4.864230875145906，对于C4由于其介质（空气层）的特殊性无法求出其精确值（此时的表达式里面涉及的数字过于庞大，计算机报错），但是由于在第二问当中已经发现因为其介质的特殊性导致对整体结果的影响较小，而且当取时间为0s至60min（3600s）的时候可以得到C4的取值范围为[-3395.8086，3.2782]，因此在后面求解的时候取适当的值即可。

把相应的参数以及约束条件带入算法当中，选择C4为其范围的上限值3.2782，并且猜想由于第Ⅳ层空气层对实验结果影响较小，而且厚度的增加也不会增加其研发成本和开发周期，因此l4实验的结果可能就是接近其厚度的最大值6.4。

在遗传算法当中取种群规模GROUP_SCALE为50，繁殖代数MAX_GENS为500，交叉概率P_MATING为0.8，编译概率P_MUTATION为0.15，跑出的结果如下图：

运行处的相应的l2和l4的值分别为24.8861和6.37858，而且从上面每代的分析数据发现算法在大约50代的时候就基本上已经找到了函数的最优解，而且相应的标准偏差大部分也基本上稳定在合适的范围内，这就说明算法得到的结果是符合相应参数检验的。

在这里l4的值和我们实验前预期的值基本上一致，也就是接近最大厚度，但是我们发现l2的值也接近于其范围的最大值，这与实际相符（材料越厚隔热效果越好），但事实我们还要考虑到研发成本的影响，因此我们打算修改相应的C4值使l2即符合题目要求而且最节省成本。

通过改变C4的值并进行多次试验，得出相应的实验数据，当-20 ≤C4≤3.2782的时候求得的l2以及l4和上面的结果一致，但当C4≤-20的时候l4的值为6.39982，和我们猜想的基本上没有什么改变，但是l2的值却为19.4047，也就是当l2取该值的时候题目所给的约束条件依然满足，而且厚度也相应的减小了，满足了研发成本尽量低。

考虑第二个约束条件，依然选择当为25min（30min-5min）的时候的极限情况，这时候的时间t为1500s（25*60s），右边的极限温度为44℃，这时的函数表达式和式（12）基本一致，因此在这里就不列出相应的表达式了。

采用的方法依然和前面一个约束条件采用的方法一致，得出的结果在精度为0.01的情况下仍然没有什么变化，因此就将l2 = 19.4047mm，l4 = 6.39982mm作为最优厚度解。

3 模型的检验

由于仅看遗传算法所得出的结果并不一定能够保证该解答的正确性，满足题目的约束条件并不代表该解是全局最优，而且可能由于遗传算法的初始值设置的随机性导致其解可能只是达到局部最优而错过真正的最优解。

因此首先将第Ⅱ层的厚度l2 以及第Ⅳ层的厚度l4 作为因变量，绘制出l2、l4与 Z的三维图，根据图像可以大致的预估其最优解的位置，并且为后面的算法提供检验的依据。

这里设置的外部温度依然是80℃，时间t仍然为1800s，这时候的C2为-4.864230875145906，C4 的大小我们选择为3，观察后发现，当l2 的取值大概在5至10mm的时候模型已经达到了最优解，而且还发现l4 的大体变化对于模型的求解没有什么影响，因此这也就证明了我们的猜想，l4 由于其介质（空气）的特殊性导致其厚度的变化对实验结果没有太大的影响，因此在进行相应的实验的时候可以忽略其对实验结果的影响。

由于对于多变量的非线性优化算法有很多，因此我们还不可以完全保证其遗传算法的正确性以及算法的优异性，于是采用另外一种求解其优化模型的算法以证明遗传算法的优越性和正确性。

粒子群优化算法（Particle Swarm optimization，PSO）是将空间当中的个体看做是一个没有质量和体积的个体，这些个体称之为“粒子”[9]，而这些粒子在空间当中以一定的速度运行，而速度的改变会随着时间的改变以及粒子自身所获得到的经验来自动改变相应的运动速度和运动的方向。

运用粒子群优化算法求得的l2 基本上趋近于24.33，l4 的值和在利用遗传算法的得到结果也是基本上一致，求得的最优值的gbest fitness的值接近于1，这也就说明算法自身的效果表现良好，但是实际上这个值并不是全局最优解（至少和遗传算法算出的结果要差）。但是在迭代次数上面，粒子群优化算法找到最优值的所需的次数要少，但是这也是他的缺点[10]，因为这会导致早熟收敛[11]，不能够找到全局最优，同时局部搜索最优解的能力较差，使得算法可能很长一段时间找不到一个最优解。

最终得到的结论是遗传算法在该题中要更优于粒子群优化算法，并且也证明了遗传算法在该题当中求解出的结果会好。

4 评价与总结

本文构建了Logistic模型关于防热服的导热模型，并利用遗传算法去解决多变量的非线性优化问题，在达到题目所要求的前提条件下我们的方法可以使得防热服的费用较低，而且模型的通用性更好。但是在求解过程中发现虽然本方法可以在一定的时间内可以找到一个局部最优解，但是可能在一定的时间内找不到一个全局最优，而且算法的要求较高，必须知道待求解的变量的取值范围，在被求解的函数局部最优较多的情况下可能收敛速度相比于其他的传统优化算法要慢且效率会比较低。因此我们可以通过分析待求函数的特征来选择合适的算法，使得算法的收敛速度得到加快而且得到的最优解尽可能靠近全局最优，以满足题目要求。

参考文献：

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[10] 刘爱军， 杨育， 李斐， 等. 混沌模拟退火粒子群优化算法研究及应用[J].浙江大学学报： 工学版， 2013， 47（10）： 1722-1730.

[11] 陈义雄， 梁昔明， 黄亚飞， 等. 量子粒子群混合优化算法求解约束优化问题[J]. 小型微型计算机系统， 2015， 36（2）： 296-300.

【通联编辑：谢媛媛】