刘艳

【摘要】计算是小学数学的重要内容，根据新课标的要求，计算教学要让学生充分理解算理，掌握算法。文章从操作的三个层次阐述如何让学生理解算理，即借助学具，在动作操作中理解算理;借助想象，在表象操作中形成算理;借助符号，在符号操作中内化算理。只有经历这样的操作三步曲，才能使学生真正理解算理，掌握算法。

【关键词】理解算理;动作操作;表象操作;符号操作

纵观小学数学教材，数与代数向来是教材中的主要内容，其中计算教学占了很大的比重。随着新课改的逐步深入，计算教学越来越引起人们的重视。新课程标准指出：“计算教学要引导学生理解算理，掌握法则，通过必要的练习逐步达到教学要求。”可见新课标强调了对算理的理解，也就是说计算教学不仅要使学生掌握算法，形成技能，更重要的是让学生理解算理，在充分理解的基础上构建算法。算理是指计算的理论依据，通俗地讲就是计算的道理。算理一般由数学概念、定律、性质等构成，用来说明计算过程的合理性和科学性。学生在计算时，不能机械地按照计算法则一步一步地计算，而是要理解计算中每一步的道理，这样，才有利于学生掌握计算方法，形成计算技能，促进思维能力的发展。那么，如何使学生在计算教学中更好地理解算理呢？操作无疑是理解算理的有效途径。布鲁纳认为，在人类智慧生长期间，要经历三个阶段：动作性表征、映象性表征、符号性表征。鉴于小学生的年龄特点和数学知识的抽象性，数学知识的学习过程也应体现这三个阶段，即应经历“动作操作—表象操作—符号操作”的过程。只有经历这样的操作三步曲，才能使学生真正理解算理，掌握算法。

一、借助学具，在动作操作中理解算理

动作操作是操作的第一层次。计算教学中，动作操作具有看得见、摸得到的优点，能给学生留下深刻的印象，帮助学生理解算理。

如一年级“两位数加一位数（进位）”一课，在教学“24+6等于多少”这一环节中，绝大部分学生都知道24+6=30，但当问他们“你是怎么想的”时，他们大多说不上来。这时教师并不急于教给学生算法，而是将这一学习任务完全交还给学生，为他们提供一个主動学习的工具——小棒，让学生把自己的想法用小棒摆一摆。学生通过动手操作，发现把6根和4根先合起来是10根，捆成一捆，再和2捆合起来是3捆，即30根，也就是先算6+4=10，再算20+10=30。

教学24+9时，仍然让学生动手摆小棒，在摆的过程中，出现了算法多样化，如下图所示。

学习不仅要知其然，还要知其所以然。通过动手操作，学生不仅能算出结果，同时还明白了计算的道理和方法。在计算教学中，动作操作将抽象的算理形象地显现出来，为算法的构建提供原型支撑，对学生理解算理、构建算法具有重要的意义。

再如三年级“两位数除以一位数（首位能整除）”，学生从原来的除1次到现在的除2次要经历认识上的飞跃，因此这儿的除法计算教学是全册的教学重点，也是教学难点。出示例题46÷2后，与上述案例不同的是大部分学生不会自己计算，这时可以借助小棒来理解算理，掌握算法。学生自主操作小棒，再请学生上黑板演示，教师着重提这样几个问题：先分什么？每份几捆？分出去几捆？整捆的还有吗？再分什么？每份几根？分出去几根？这样每份一共有多少根？刚刚分小棒时，我们分了几次？

在这节课中，小棒是必不可少的学具，通过动手操作，能有效突破难点，帮助学生初步建立算法，明确先分整捆再分单根，要分两次。数学知识是抽象的，而学生思维以形象性思维为主。因此，动作操作有利于学生理解知识，通过操作让学生逐步形成一定的操作表象，从而帮助学生理解抽象的算理。

重视动作操作，是发展学生思维、培养学生数学能力的有效途径之一。理解算理的基础是让学生动手操作，学生只有在具体操作中才能逐步体会、理解“形”和“数”之间的联系，悟出道理，掌握算法。

二、借助想象，在表象操作中形成算理

计算教学中，常常会出现这样的现象：学生脱离了小棒操作，就说不出计算的思考过程，算不出得数。究其原因，是教师直接从动作操作过渡到符号操作，抽象得太快，学生不具备表象操作的能力，思维产生脱节。

如果说动作操作是理解算理的第一步，是为学生提供理解的起点，那么表象操作就是连接动作操作和符号操作的中介，忽视这一环节，直接把动作操作上升到符号操作，学生的学习就很难上升到抽象的符号文字水平。心理学告诉我们，只有建立正确、牢固而清晰的表象，才能支持抽象思维。表象的建立有利于学生更快地摆脱具体事物的束缚，向抽象思维过渡。表象操作即动脑操作，也就是在学生动手操作之后，让学生脱离具体实物，在头脑中进行想象的操作。

仍然以“两位数加一位数（进位）”为例，在学生操作小棒后，教师让学生回忆刚刚分小棒的过程。接着，出了这样一组题：看着图中的小棒，动脑筋想一想，算出得数。

小学生的思维带有很大的具体形象性，表象常成为其思维的凭借物。这一环节设计的主要目的是帮助学生建立表象，学生从动手操作过渡到动脑操作，在头脑中想象操作小棒的过程，先把个位上的几根合起来，满十根捆成一捆，从而逐渐形成满十进一的计算方法。

表象既具有直观性，又具有概括性，是从感知到思维的过渡阶段。学生的认识，从具体的操作上升到抽象的知识，需要借助表象。有效的表象操作，是促使学生从实物操作过渡到算法操作必不可少的桥梁。

再如“两位数除以一位数（首位能整除）”，教学完例题后，出示一道练习题：69÷3，让学生在头脑中想象有69根小棒，把分小棒的过程像放电影一样在脑中过一遍。

心理学研究表明，让儿童先用实物计算，然后把实物拿走，要儿童想着那里的实物计算，即利用表象计算，效果很好。学生通过这样想象性的操作，找到了从直观到抽象的纽带和桥梁，表象操作成为学生形成计算方法、建立数学模型的有效中介。

三、借助符号，在符号操作中内化算理

动作操作与表象操作为学生进行符号操作奠定了基础，在学生积累了较丰富的感性材料、进行有效的表象操作的基础上，教师要及时进行抽象、概括，逐步过渡为数学的语言符号。数学符号具有抽象性、简洁性、一般性，如果长时间地停留在感性认识阶段，则不利于学生逻辑思维能力的培养和发展。

还是以“两位数除以一位数（首位能整除）”为例，在学生动手、动脑操作后，教师引导学生用除法竖式把刚刚摆小棒的过程表示出来。

师：回想一下，我们是先分什么的？也就是先算几除以2？

生：先分整捆的，先算4÷2得2。

师：先用十位上的4除以2商2，写在什么地方？为什么写在十位上？

生：每份2捆，表示2个十，所以写在十位上。

师：分出去几捆？怎么算的？

生：分出去4捆，二二得四。

师：下面该分什么了？也就是再算几除以2？最后结果是多少？

生：再算6÷2=3，最后结果是23。

小结：回忆我们分小棒的过程，把46根小棒平均分成2份，其实是两次平均分，先把4捆平均分成2份，每份2捆，是2個十，所以“2”就写在十位上;再把6根平均分成2份，每份3根，是3个一，所以“3”就写在个位上。用竖式计算我们也除了2步，先用十位上的数去除，商写在十位上，再用个位上的数去除，商写在个位上。

算法的建构不仅需要感性材料的支持，更需要教师对学生的动作操作与表象操作进行及时有效的引导与提升。随着教师的启发与引导，学生有意识地审视自己的操作过程，自觉地把刚才操作过程中所获得的认识进行整理提升，算法的建构自然呼之欲出。

再如“两位数加一位数（进位）”，学生经历动作操作、表象操作后，可逐步总结先算什么，再算什么，结合摆小棒的过程说明先把个位上的数相加，满十要进一。

符号操作的过程是理解算理、形成算法的最后一步，学生在将感性认识抽象为符号的同时，算法的建构也就完成了。

计算应该是人们在日常生活中应用得最多的数学知识，它历来是小学数学教学的重要内容。计算教学直接关系着学生数学基础知识与基本技能的掌握和数学思维的发展。教学中我们应遵循学生的认知规律，让学生经历“动作操作—表象操作—符号操作”的过程。动作操作是理解算理的起点，表象是在操作和观察等活动基础上，在头脑里形成事物的初步形象，是知识形成的中介，最后在头脑里将获取的表象进行加工整理，把感性认识上升为理性认识，形成算法。教学过程中，教师要加强直观教学和学具操作活动，丰富学生知识的表象，促进其理解，在此基础上得出结论，让学生说算理，抽象出算法。

计算教学中，算理是起点，算法是归宿，只有让学生经历操作三步曲，才能使学生更好地理解算理，掌握算法。

【参考文献】

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[3]章建跃.数学学习论与学习指导[M].人民教育出版社，2001.