王晓伟 郭建友

(安徽大学物理与材料科学学院,合肥 230601)

在复动量表象下引入格林函数,建立了复动量格林函数方法.把这种方法应用于n-α散射系统,计算其散射相移.提取n-α系统的共振态并研究共振态对能级密度、相移和散射截面的贡献.在不引入任何非物理参数的前提下,离散化薛定谔积分方程得到束缚态、共振态和连续谱.通过分析散射态物理量可以更好地理解共振态以及非共振连续谱态.在n-α系统中的成功应用,证明了该方法的正确性.

1 引 言

众所周知,散射是一种十分重要的物理现象,一直以来,核子散射都受到人们的广泛关注.通过核散射现象,可以更好地了解核属性、理解核结构,进而掌握更多有关原子核的内容和知识[1-3].

近年来,无论是在理论方面还是实验方面,物理学家提出许多核子散射研究方法.理论上,基于传统的散射理论,提出了一系列新的解决方法,如R矩阵[4]、S矩阵[5]、K矩阵[6]、Jost函数[7]、多通道代数散射理论[8]、平面玻恩近似、Hugenholtzvan Hove理论[9-13]以及复标度方法(CSM)[14,15]等;实验上,核散射技术也在持续不断地改进和发展[16],例如,在20世纪中期,Brussel和Williams[17]做过以α粒子为靶核的中子散射实验,除此之外,文献[18—28]都报道了与n-α散射相关的实验数据.值得指出的是,每种方法都因其自身独特的性质得到大家的认可,然而调查发现,有些方法也都有值得完善和改进的空间.如CSM,在计算过程中具有对角度参数θ的依赖性[29],这使得计算相对有一点复杂.鉴于此,文献[30—32]给出了一种新的方法,即复动量表象(CMR).目前,又进一步在CMR下引入格林函数[33],发展了复动量格林函数(CMR-GF)方法.该方法是在动量空间中求解薛定谔方程,无需考虑边界条件,已成功地应用到相对论平均场中来研究狄拉克粒子中的共振态.另外,CMR-GF方法还具有以下3个优点：1)不仅可以得到束缚态也可以得到共振态以及非共振连续谱;2)不仅适用于宽共振也适用于窄共振;3)不引入任何非物理参数.

研究发现,n-α弹性散射是探测核相互作用的重要手段,近年来受到国际上许多研究组的关注[34-36],成为核散射研究的热门课题.目前,尚未见用CMR-GF方法来研究n-α系统的弹性散射.用CMR-GF方法能够提取其中的共振态,进一步探究共振态对该系统中连续谱能级密度(CLD)的贡献、CLD与R矩阵紧紧相关,可以用一个光滑的实能量函数进行描述[37-39],然后从能级密度导出n-α系统散射态相移和截面.反之,散射相移方法也可以用来研究单粒子共振态[40],借助对散射数据的分析反过来更深入地理解共振态结构[41]为共振态引起的物理现象如晕、巨晕等[42,43]提供理论支撑.因此,在这里给出用CMR-GF方法来研究n-α散射的处理方案,同时把部分计算结果与已有实验数据及其他理论结果进行比较.比较发现,CMR-GF方法在n-α系统中的应用值得肯定.

本文第2部分详细介绍CMR-GF方法的理论;第3部分给出结果与讨论;第4部分为总结.

2 理论模型

为了在复动量空间中研究n-α系统的共振态,哈密顿量采用以下形式[3]：

势场各参数如表1所列[44].动量空间中的薛定谔方程为

把(1)和(2)式同时代入到(3)式中,可以得到如下形式：

其中的Ψ(k)由两部分组成,,分别表示动量波函数的径向部分和角向部分;方程中的解包括束缚态、共振态和非共振连续谱态[30].

表1 n-α散射KKNN势参数Table 1.Parameters of the n-α KKNN potential.

势能矩阵表示如下：

众所周知,CLD在相关的非束缚态理论模型和核实验数据中起着重要的作用[2],近年来,Kruppa和Arai[45,46]对CLD展开有趣的研究,通过计算CLD可以确定共振参数,从CLD定义开始,引入格林函数[37]：

其中,Ψb(k),Ψr(k),Ψc(k) 分别是动量空间下的束缚态、共振态和非束缚连续谱态的波函数;是对应波函数的厄米共轭波函数;Nb,Nr分别代表束缚态和共振态的个数;Eb,Er,Ec分别是束缚态、共振态、连续谱态的本征能量值,其通式为E=Er+iEi.与文献[2,48,49]相似,根据以上理论描述,可以得到态密度与连续态密度之间的差值,即CLD.

再根据CLD与相移之间的关系式,可以得到相移的表达式：

其中Nb表示束缚态个数,δr表示共振态相移,δc表示连续谱相移,δk表示背景项相移.在弹性散射理论中,从分波法角度出发,由相移和微分散射截面关系可以得到散射截面的表达式为

式中,k2=2Eµ/ℏ2δ,l+表示自旋向上的态所对应的相移;δl-表示自旋向下的态所对应的相移.

3 结果与讨论

利用前面所述理论来研究n-α系统的共振态.为了使共振态能够清晰地暴露在复动量平面内,需要选择合适的积分路径.动量积分下限为kmin= 0 fm-1,上限为kmax=1.5 fm-1,Gauss-Legendre有限积分格点数N= 180 ,以及在计算势能矩阵时,Gauss-Hermite积分格点Nh=70 .以上参数的取值已足够保证共振态清晰地出现在动量平面内以及满足计算所需的精度.

本文采用如下积分路径.在图1中,对于 P1/2态的研究,选取第一条积分路径为k1=0.0 fm-1,k2=0.3-i0.3 fm-1,k3=0.8 fm-1,kmax=1.5 fm-1.同样地,第二、第三、第四路径的k2取值分别是k2=0.2-i0.3 fm-1,0.4-i0.3 fm-1,0.3-i0.35 fm-1.通过选取四种不同的积分路径,可以看到路径无论从左向右,还是由浅变深,共振态的位置都不会发生改变,也就是说共振态不依赖于积分路径而独立存在.

图1 用CMR-GF方法在4种不同积分路径下计算得到的n-α系统的 P1/2轨道的单粒子共振态,图中红色五角星代表共振态,点心圆圈代表非共振连续谱,绿色实线代表动量平面内的积分路径Fig.1.Single particle resonance states for P1/2orbital of n-α systems calculated by using CMR-GF method under four different integral paths.The red pentagram represents the resonant state,the circle represents the continuum,and the green solid line represents the integral path in the momentum plane.

从图1可知,n-α系统 P1/2态的共振态能量为(Er,Ei)=(2.13,-2.91) MeV;根据共振态能量与宽度的关系Γ=-2Ei,可知 P1/2态的共振宽度Γ=5.82 MeV,2002年所测得的实验数据[50]范围为 (Er,Γ)=(1.27,5.57) MeV,目前由CSM方法提供的理论结果为 (Er,Γ)=(2.10,5.82) MeV[3].

同样,选取 P3/2态的积分路径k1=0.0 fm-1,k2=0.4-i0.3 fm-1,k3=0.8 fm-1,kmax=1.5 fm-1,其他三条路径的k2取值分别为k2=0.3-i0.3 fm-1,0.5-i0.3 fm-1,0.4-i0.35 fm-1.其共振能量为(Er,Ei)=(0.739,-0.293) MeV;Γ= 0.59 MeV,目前实验上测得数据为 (Er,Γ) = (0.798,0.648) MeV.

通过对图1和图2的数据分析,得到 P1/2态的宽度大于 P3/2态的宽度,表明n-α系统的 P1/2是一个宽共振,而 P3/2是一个窄共振.由能级宽度和寿命的反比关系,进而可知 P1/2共振态寿命较短,P3/2态的寿命相对较长.

借助图1和图2中的能量数据,根据(8)式,得到P态CLD图像,如图3和图4所示.减掉背景项之后,从图3和图4可知,CLD出现了共振峰,共振峰在横轴上的投影所对应的能量代表着该共振态的实部能量,图中标注的两交点之间的距离即CLD的半高宽,代表该共振态的宽度.

相对于宽共振 P1/2态,窄共振 P3/2共振峰更明显、尖锐.变换四种不同的积分路径,可以看到共振峰位置和宽度并没有改变,CLD共振峰对积分路径不具有依赖性,与文献[2]中数据具有很好的一致性.

借助CLD图像,通过共振峰宽度和尖锐程度,可以更直观地判断 P1/2是一个宽共振,而 P3/2态是一个窄共振,相对窄共振 P3/2态,P1/2态有着更短的寿命.

为进一步验证图3和图4结果的准确度,根据(9)式得到了n-α系统P波散射相移,如图5和图6所示.图中分别用红色长虚线、蓝色短虚线、黑实线描绘了共振态、连续谱和P态总相移,P态总相移是共振相移和连续谱相移之和,同时与实验数据以及R矩阵理论结果进行比较,对比发现三者具有很好的一致性.

从图4可以清晰地看出,宽共振 P1/2态的共振相移先是缓慢增加超过 π/2 ,而后趋于平稳,而窄共振 P3/2态会快速增加超过 π/2 ,而后趋于平稳;然而对于连续谱相移,不管是 P1/2还是 P3/2,二者在第四象限内趋势十分相似,在0—25 MeV能量范围内,连续谱相移在0— 0.5π 范围内依次递减,这种现象的出现似乎受自旋-轨道耦合相互作用力的影响.

图2 同图1所示,计算得到的n-α系统的 P3/2轨道的单粒子共振态,图中红色圆球代表共振态,点心圆圈代表非共振连续谱,绿色实线代表是动量平面内的积分路径Fig.2.Single particle resonance states for P3/2orbital of n-α systems.The red sphere represents the resonant state,the circle represents the continuum,and the green solid line represents the integral path in the momentum plane.

图3 在四种不同积分路径下,用CMR-GF方法计算得到的 P3/2态CLDFig.3.CLD of the P3/2state under four different integral paths calculated by CMR-GF method.

图4 在四种不同积分路径下,用CMR-GF方法计算得到的 P1/2态CLDFig.4.CLD of the P1/2state under four different integral paths calculated by CMR-GF method.

P态总散射相移的性质是由共振态和连续谱项共同决定的,尽管有连续谱的存在,仍然可以看到n-α散射依然保持共振行为.与其他理论结果及实验数据[51,52]的比较再次证明CME-GF方法的有效性.

除了对相移的讨论之外,为进一步观测共振参数对n-α散射的影响,利用(10)式可以得到散射态截面,图7和图8展示的是P波散射截面,分别给出了P波的共振截面和连续谱截面.从图7和图8发现,P态的连续谱截面形状相似,宽共振P1/2的共振截面峰相对较宽,而窄共振 P3/2的共振截面峰比较尖锐.

基于对部分散射态P态截面的分析,进一步得到了n-α系统的总散射截,如图9所示,系统总截面主要来源于 s态、 p1/2态、 p3/2态、 d3/2态、 d5/2态、 f5/2态、 f7/2态的贡献,之后的散射态(l≥4 )对系统截面的贡献可以忽略.与文献[28,53,54]的实验结果进行比较,可以看出在高能区理论结果和实验数据能够很好地符合.从总截面图9还可以得出一个重要的信息,在低能量区2 MeV附近出现了尖峰,在高能区有一个长长的尾巴,出现了弥散现象,尖峰主要是来自于P波共振散射的贡献.

图5 n-α散射系统的 P1/2态的相移(橘色长虚线表示共振态散射相移,红色短虚线表示连续谱散射相移,黑色实线表示总散射相移,紫色圆圈表示由R矩阵理论计算所得散射相移,绿色五角星表示实验上的相移)Fig.5.The P1/2phase shift of n-α scattering system.The orange long dotted line represents the resonant scattering phase shift,the red short dotted line represents the continuum scattering phase shift,the black solid line represents the total scattering phase shift,the purple circle represents the scattering phase shift calculated byRmatrix theory,and the green stars represent the experimental data of the total scattering phase shift.

图6 n-α散射系统的 P3/2态的相移(橘色长虚线表示共振态散射相移,红色短虚线表示连续谱散射相移,黑色实线表示总散射相移,紫色圆圈表示由R矩阵理论计算所得散射相移,绿色五角星表示实验上的相移)Fig.6.The P3/2phase shift of n-α scattering system.The orange long dotted line represents the resonant scattering phase shift,the red short dotted line represents the continuum scattering phase shift,the black solid line represents the total scattering phase shift,the purple circle represents the scattering phase shift calculated byRmatrix theory,and the green stars represent the experimental data of the total scattering phase shift.

图7 P1/2波散射的共振态截面、连续谱截面和总散射截面Fig.7.Resonant cross section,continuum cross section,and total scattering cross section of P1/2-wave scattering.

图8 P3/2波散射的共振态截面、连续谱截面和总散射截面Fig.8.Resonant cross section,continuum cross section,and total scattering cross section of P3/2-wave scattering.

图9 系统的总散射截面(实点表示计算结果,圆圈表示实验数据)Fig.9.Total scattering cross section of the n-α system.The solid points represent the calculated results,and the circles represent the experimental data.

4 结论与展望

本文通过对n-α散射结果讨论与分析,表明了CMR-GF方法的可靠性.通过在动量空间中利用有限格点把薛定谔积分方程离散化,并且在相同动量基下求解共振态及非共振连续谱态,使得nα散射共振态能够清晰地暴露在复平面内.共振态的提取对该系统CLD、散射相移和截面的分析提供了很多帮助.

研究结果表明,共振参数与散射之间存在紧密的联系,即散射态物理量中共振峰的出现主要是来自于共振态的贡献.理论结果与实验数据符合得很好,证明了该方法的准确性,目前分析相移和截面的方法在核数据评估方面也起着非常重要的作用,对于分析散射反应并进一步研究核力性质具有重要的意义.除此之外还有望把它拓展到相对论下研究粒子共振态问题,目的是得到更宽范围的核数据.