任 越，杨 军

(西北工业大学航天学院，西安 710072)

0 引言

现代作战飞机的自卫拦截手段可分为被动防御和主动防御两类。被动防御手段包括隐身技术、诱饵技术及诱骗技术等，完全是一种消极被动的逃避方式。随着导弹技术的不断完善，这种消极被动的逃避方式几乎不能确保飞机的有效生存，科索沃战争中，造价数亿美元的F-117隐身战斗机，被廉价的SA-3导弹所击毁，就是最好的例证。主动防御技术则采用机载反导拦截武器主动摧毁来袭导弹，能够更好地提高飞机生存能力。机载反导拦截武器主要包括机载定向能武器(主要是激光)和机载反导拦截弹两类[1]。本文研究的对象即为机载反导拦截弹。

考虑不同载机平台面临的主要威胁，反导拦截弹应具备拦截中远距空空弹的能力。同时，反导拦截弹应能够帮助载机瓦解来袭导弹尾追、侧击和迎击这三种典型攻击态势，实现全向攻击。其中拦截尾追目标需要采用越肩发射来实现对尾后目标的攻击，也是拦截技术的难点。

越肩发射导弹的制导过程一般由发射后的转弯段和末制导攻击段组成。转弯段的目的是使导弹快速转向目标，当满足中末制导交班条件时进入末制导。从查阅情况来看，转弯段导引律一般以快速性或者速度为指标进行设计，文献[2]使平行于初始视线方向上的速度分量最大，并以终端速度最大为指标，根据极小值原理设计了转弯段制导律。反导拦截需要实现对来袭弹的直接碰撞，对脱靶量要求极高，同时来袭弹为具备高速、高机动能力的战术空空弹，因此对末制导律要求较高。针对高速、高机动目标的末制导律，一般以各种形式的最优制导律和变结构制导律为主，文献[3]考虑了能量管理和优化问题，以零控脱靶量和交会角为指标设计了最优制导律。

借鉴相关文献的研究成果，本文以攻角作为控制量，采用伪谱法设计了反导拦截弹的转弯段制导律，并采用变结构控制理论设计了末制导律。同时建立了载机携带拦截弹对来袭空空弹的反导对抗模型，利用设计的拦截弹复合制导规律对尾追目标实现了拦截仿真。

1 转弯段制导律设计

采用质点运动方程对转弯段轨迹进行优化，并给出最优攻角指令，为了简化设计，提出以下假设：

1)不计操纵力、旋转力和非定常气动力；

2)拦截弹采用侧滑控制技术(Side to Turn，STT)转弯，滚转通道稳定，滚转角恒定。

设状态变量x=[V,θ,ψV,h]T,控制变量u=[α,β]T，弹道坐标系下的导弹三自由度方程为

(1)

式中，m为质量，V为速度，θ为弹道倾角，ψV为弹道偏角，h为高度，α为攻角，β为侧滑角；Q为动压，S为参考面积，CD为阻力系数，CY为升力系数，CZ为侧力系数；P为主发动机推力；g为重力加速度。

本文用Radau伪谱法求解最优转弯规律。Radau伪谱法的配点为Legendre-Gauss-Radau(LGR)点，该方法以较少的节点获得很高的求解精度，精度仅次于Gauss伪谱法，但收敛速度更快[5]。GPOPS-II软件是一个较为成熟的用Radau伪谱法求解最优控制的软件，求解时需要输入微分方程、边界条件、边界约束、状态约束、性能指标以及容许控制等。

考虑拦截弹转弯段边界条件，转弯段速度不能太大，以减小需用过载，初速则和载机相同。转弯结束后拦截弹的速度矢量应大致指向来袭弹。优化的边界条件为

(2)

边界约束为

(3)

采用大攻角转弯可以减小转弯时间，但是攻角过大，气动特性会异常复杂，所以拦截弹的转弯应在合适的攻角范围内进行。本文将拦截弹的攻角限制在40°，状态约束设为

(4)

拦截弹应在尽量短的时间内完成转弯，所以将转弯时间最短作为性能指标

(5)

利用Radau伪谱法完成对连续最优控制问题的离散化后,采用snopt求解器对离散最优控制进行求解，得到优化的状态信息和控制信息。对优化后的攻角曲线进行拟合以给出攻角指令。

拟合后的攻角指令以下面形式给出

αc=a6t6+a5t5+a4t4+a3t3+a2t2+a1t+a0

(6)

边界条件中不同的θf会优化出不同的攻角指令，以θf为自变量对αc中的系数a0～a6进行线性拟合，表达式如下

a6=b61θf+b60,a5=b51θf+b50a4=b41θf+b40,a3=b31θf+b30a2=b21θf+b20,a3=b11θf+b10a0=b01θf+b00

各项系数具体数值如下

b61=0.0049,b60=-0.7876b51=-0.0386,b50=6.2092b41=0.1110,b40=-18.0444b31=-0.1443,b30=23.7847b21=0.0885,b20=-14.7768b11=-0.0244,b10=4.0897b01=0.0025,b00=0.2939

法向过载的计算公式为

nyc=[Psinαc+QSCY(αc)]/mg

(7)

将攻角指令代入式(7)，得到转弯段过载指令

nyc=[Psin(a6t6+a5t5+a4t4+a3t3+a2t2+

a1t+a0)+QSCY(a6t6+a5t5+a4t4+

a3t3+a2t2+a1t+a0)]/mg

(8)

2 末制导律设计

2.1 数学模型的建立

拦截弹为STT转弯，假设保持滚转轴稳定，则导弹的控制可以解耦在2个相互正交的通道内。本文对末制导律的设计在纵向平面内开展，并假设拦截弹与目标的相对运动方程可在初始目标视线附近线性化。拦截弹与目标的相对运动关系如图1所示。

图1 纵向平面内弹目相对运动关系几何Fig.1 Relative kinematics relationship betweenmissile and target in longitudinal plane

图1中，下标M和T分别代表拦截弹和目标的相应变量。V、a、θv分别代表速度、侧向加速度和弹道倾角。qα代表视线高低角，r表示弹目相对距离。z表示某一时刻弹目视线与初始视线在法线方向的相对位移。

根据图1可以得到

(9)

弹目在视线切线方向上的相对速度为

Vq=-VMsin(θM-qα)+VTsin(θT+qα)

(10)

弹目在视线法线方向上的相对速度为

Vq=-VMsin(θM-qα)+VTsin(θT+qα)

(11)

Vq同时可以表示为

(12)

假设目标的机动为一阶动力学，则

(13)

式中，τT为目标的一阶时间常数。

假设拦截弹的机动为一阶动力学，则有

(14)

式中，τM为导弹的一阶时间常数。

(15)

2.2 零控脱靶量

变结构制导律的滑膜面常选用视线角速度，但是制导末端弹目关系变化剧烈，导致视线角速度骤变、控制信号恶劣。针对具有高速、大机动能力的来袭目标，本文选取零控脱靶量(Zero Effort Miss，ZEM)作为滑膜面。零控脱靶量的含义是从当前时刻开始，目标保持当前机动不变，导弹控制量为0的最终脱靶量。

由零控脱靶量的定义可以将式(15)转化为齐次方程

(16)

x=[x1x2x3x4]T

(17)

对齐次方程进行Laplace变换，可以得到：

x4(s)=x40/(s+1/τM)

(18)

x3(s)=x30/(s+1/τT)

(19)

(20)

(21)

对x1(s)进行Laplace逆变换得

(22)

任意时刻的ZEM可以表示为

(23)

其中：ψ(tgo/τ)=e-tgo/τ-1+tgo/τ。

根据几何关系可以得到

z=-Vrtgoqα

(24)

(25)

ZEM可以写为

(26)

2.3 变结构制导律设计

考虑简化的导弹、目标动力学一阶环节与实际动力学之间的有界误差分别为ΔaMN、ΔaTN，同时目标加速度为有界未知变量

(27)

(28)

利用相对运动方程

(29)

(30)

对s进行微分运算：

(31)

结合相对运动方程和式(31)可以得到

(32)

(33)

根据Lyapunov第二法选取Lyapunov函数为

L=s2/2

(34)

(35)

将控制量代入V中，得到

(36)

(37)

因为η大于系统总扰动的界Δ，所以V<0，系统稳定。

为了削弱滑膜控制的抖振，采用连续高增益法，用连续函数w(s)取代sgn(s)

(38)

式中，δ是很小的正常数。

因此，末制导段纵向平面法向过载指令为

(39)

侧向平面采用次最优导引律为

(40)

式中，导航比N=4。

3 交接班导引律设计

考虑初末制导的弹道交接班。在弹道交接点，核心思想是使加速度矢量连续。这可以理解为使得交接班加速度

(41)

为一个连续函数。其中：ajj(t)为导弹的加速度矢量，v(t)为导弹的速度矢量。若能够使得ajj(t)交接班开始时刻等于初制导结束时刻的加速度指令,在交接班完成时等于末制导所需的加速度指令,则完成导弹中末制导的交接班。

基于以上思想，将交接班看作是从第i条弹道到第j条弹道的过渡。定义交接班导引律为[9]

ajj(t)=aj(tb)+(T+t0-t)[ai(t0)-aj(tb)]/T

(42)

式中，ai(t0)、aj(tb)分别为第i条弹道和第j条弹道的指令加速度。t0为交接开始时间，T为交接班时间。

4 载机发射模块数学模型

在这里，建立简化的发射控制模块数学模型，仅简要描述其对发射的控制，数学公式如下

(43)

式中，SF为发射状态字，0表示不发射拦截弹，1表示发射拦截弹；Rm为载机与目标的相对距离测量值；Rb为拦截弹允许发射最远距离。

5 仿真分析

假设在传感器理想的情况下，来袭导弹状态信息及拦截导弹飞行参数都可以准确获得。反导拦截弹各项参数由Missle Datcom软件计算得到，来袭导弹为某型雷达制导空空导弹，在Matlab/Simulink中对载机反导场景进行仿真。

来袭导弹攻击态势：来袭弹与载机初始高差为2km，初始斜距为6.4km，来袭弹尾追攻击载机。

拦截态势：载机在距来袭弹6km处发射反导拦截弹对来袭导弹实施拦截。

仿真条件设置：载机水平匀速飞行，初始位置(0，10000，0)m，初始速度为0.8Ma；来袭导弹初始位置(-6000，12000，1000)m，初始速度为0.8Ma。载机初始弹道偏角为0°，来袭弹初始弹道偏角0°、初始弹道倾角为0°。用于末制导律计算的拦截弹与来袭弹的动力学一阶时间常数均取为0.1s。仿真曲线如图2～图7所示。

图2 侧向弹道Fig.2 Lateral trajectory

图3 纵向弹道Fig.3 Longitudinal trajectory

图4 侧向过载Fig.4 Lateral acceleration

图5 纵向过载Fig.5 Longitudinal acceleration

图6 拦截弹速度Fig.6 Velocity of the interceptor

图7 零控脱靶量Fig.7 Zero-effort misses distance

从图6中可以看出，初制导转弯段速度减小，原因是导弹推力和空气动力的合力与速度方向相反。转弯段速度较小可以减小导弹需用过载，实现快速转弯。从图5中可以看出，拦截弹在进入末制导后以较大的纵向过载使滑膜快速趋近0，到达滑膜后以较小的过载使得ZEM维持在0附近。制导末端tgo趋近于0导致过载指令变化很大。采用本文给出的复合制导律，拦截弹最终的脱靶量为0.2m，能够对来袭弹实施直接碰撞，同时拦截成功时碰撞点距载机超过1km，能够保证载机的安全。

6 结论

本文主要研究了反导拦截弹越肩发射的复合制导规律，给出了转弯段导引律和变结构末制导律，数字仿真结果说明，这种复合制导规律能够实现载机对来袭导弹的自卫拦截。

基于零控脱靶量的末制导律需要拦截弹的剩余飞行时间、来袭弹机动加速度等信息，这就给小型化拦截弹与载机的探测装置及估计算法提出了较高的要求，工程上若要实现还需要进一步研究。同时，未来需要进一步考虑在无法准确获得敌方导弹状态信息时如何进行估计，本文忽略了许多非线性因素，在更加贴近实际的作战场景中仍需要深入研究。