刘明明, 夏铁成,王金波

(1.上海大学理学院,上海200444;2.中国电子科技集团公司第三十研究所国家保密通讯重点实验室,成都610041)

分数阶微积分作为数学建模的一种可靠工具,在过去几十年中得到了广泛的应用,并取得了丰硕的成果.离散分数阶微积分是分数阶微积分在时间尺度下的理论发展[1-3],被用来描述离散时间的动力学行为,已取得的成果主要有Taylor级数[4]、分数阶差分定义及其性质[5-6]、Laplace变换[7]等.然而,目前对动力学行为方面的研究较少.本工作在一个带有三角函数的二维离散混沌系统的基础上,利用分数阶差分构造了一个新的混沌系统,并刻画了其混沌现象,以更加深入地理解离散动力学行为.

1 带有三角函数的二维离散混沌系统

考虑一个具有如下形式的离散混沌系统[8]:

利用Jacobian矩阵法得到系统(1)的2个均大于0的Lyapunov指数:λ1=1.474 10,λ2=0.820 19.所以,系统(1)的运动是混沌的,而且下面的数值模拟也说明了这一点.

取n=100,图1(a)和(b)为系统(1)在初始值为(0,0)时的解;当初始值的x坐标依步长1.6从−8到8,y坐标依步长0.1从−0.5到0.5时,可得到系统(1)的相位图,如图1(c)所示.

图1 系统(1)中的混沌Fig.1 Chaos in system(1)

2 离散分数阶微积分

在推广之前,首先介绍与离散分数阶微积分相关的概念[1,5,9].

考虑阶乘多项式

这里Γ指Gamma函数,并且如果对于某些j有t+1−j=0,则约定值为零.对n进行扩展,有定义

迭代地定义算子∆j= ∆(∆j−1),这里j是非负整数,∆0表示恒等算子并且∆1f(t)=∆f(t)=f(t+1)−f(t).令Na表示离散的时间尺度,Na={a,a+1,···},其中a∈R固定.考虑具有如下形式的初值问题

这里σ(s)=s+1.注意到,当s=t− (n− 1),···,t−1时,=0,有

于是,有如下定义……