□张维国 肖清华 程 力

随着基础教育课程改革的推进，发展学生核心素养已成为学校教育教学的主要任务。为培养学生的数学核心素养，教师必须将目光聚焦于课堂教学，摆脱以往浅层的、表层的课堂教学，实施有深度、有广度、有关联度的深度教学。

深度教学是一种教学理念，以知识观和发展的学习观来看，深度教学注重发挥学生学习的主动性，让学生深度参与教学过程；强调完整地处理知识，让学生深刻把握教学内容，增强学生知识学习的意义感、自我感和获得感。现以“组合图形面积”一课为例，尝试从实践层面探索实施深度教学的路径。

一、指向深度教学的课例列举

（一）“深度”设问，引学生思考

师：同学们，我们学过哪些平面图形？

生：三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆形、菱形。

师：我们可以把这些平面图形称为基本图形。仔细观察图1，它们分别是由哪些基本图形拼成的？

图1

图2

生：第一幅图形是由5个三角形、1个正方形和1个平行四边形拼成的。

师：你观察得真仔细，那第二幅和第三幅图呢？

生：我发现第二幅图也是由5个三角形、1个平行四边形、1个正方形组成的。

生：第三幅图也是（由5 个三角形、1 个平行四边形、1 个正方形组成）,我发现这三个图案都是用七巧板拼的图形。

师：你不仅善于观察，还善于动脑。继续往下看，图2是科学馆的指示牌，它由哪些基本图形组成？

生1：它是由三角形和长方形组成的。因为从这里面切一条竖线就分成一个三角形和一个长方形。

生2：这个图还可以由三角形、长方形、正方形组成。我在长方形里画两条竖线段，就能分成三个平面图形。

生3：我不同意他（生2）的画法，我认为还是画一条好，因为它是由两个简单的平面图形来组成一个指路牌的。

师：（指向生2，追问）你觉得呢？

生2：听了他的讲解，我觉得有道理。还是画一条线段好，如果画两条线段的话，会变成三个图形，就需要算三遍，画一条线段只需要算两遍，然后加起来就可以了，一条线段比较简单。

生4：我想补充一点。我也觉得画一条线段比较好，如果画两条线段，就要分割成一个长方形、一个正方形、一个三角形，更加复杂了。

师：综合大家的意见，只要画几条线段？

生（全体）：一条。

师：你们分析得真透彻啊，像这样把复杂的问题变简单，把陌生的图形变熟悉，是数学上的化繁为简思想。在这个过程中，你们有什么发现吗？

生5：我发现同一个图形，用不同的分法可以分为不同的基本图形。

师：也就是说，同一个图形可以看作是由不同的基本图形拼成的。

在这一环节，教师通过复习基本图形，让学生发现七巧板拼成的复杂图形以及指示牌等图形，都可看作是由一些基本图形拼成的，可以用“画线”的方法把组合图形分割成基本图形。在这一过程中，学生通过阐述、质疑、争辩、追问，发现“不同的分法可以分为不同的平面图形”，实现了深度教学的理念，也为新知学习与探究做好了铺垫。

（二）“深度”探求，得多种解法

师：同学们对单个的基本图形的面积已经掌握，像这些组合图形的面积又该怎样计算呢？今天这节课，我们就一起来探求组合图形的面积计算方法。

出示例题：小华家要在客厅铺地板（客厅平面图如图3），请你根据相关数据算一算小华家客厅至少要买多少平方米的地板？

1.估算与猜测

师：谁来估一估，大约要买多少平方米的地板？

生：56㎡；生：42㎡；生：36㎡。

师：我们估计的数据都不一样，怎么办呢？

生：需要计算出地板的面积。

图3

师：说得好，要算出准确的面积。下面就让我们一起来算一算。

2.探究与交流

（1）提出活动要求，让学生独立画一画、算一算。

活动要求：a.画一画：先在课堂作业单上的客厅平面图上画一画；b.算一算：根据画的方法，计算出客厅的面积；c.想一想：你还能想出别的方法吗？请在其他的图上画一画，再算一算。

（2）在小组交流的基础上组织全班交流。

师：我们请同学到前面来说一说，你是怎么算的？

生1：我把这个图形分成了两个长方形（如图4），那么6-3=3（m），接下来就用4×3=12（㎡），3×7=21（㎡），最后算出客厅面积是12+21=33（㎡）。

图4

图5

生2：我把这个组合图形分成了一个正方形和一个长方形（如图5），我们知道正方形的每一条边是相等的，所以要算这个正方形面积就要把它的边长算出来，7-4=3（m），正方形面积就是3×3=9（㎡），然后长方形的长是6m，宽是4m，4×6=24（㎡），再求出正方形和长方形的面积之和就等于组合图形的面积，即24+9=33（㎡）。

生3：我是这样算的，左边大长方形的宽是4m，可以分成两个宽是3m，长是4m 的小长方形（如图6）。只要算出2个小长方形的面积和右边1 个正方形的面积，就能求出客厅总面积。师追问：像这样分成2 个长方形和1 个正方形的计算会比生2的方法简单吗？

图6

生（全体）：复杂。

师追问：为什么会复杂？

生4：因为生3 的方法是把左边整体的长方形再继续分割成两个小长方形。照这样分，要先求出小长方形面积，再求大长方形面积，最后求客厅面积。计算就会由简单的一步变成复杂的两步。生2的方法比较简单，左边长方形可直接用6×4算出面积，再与右边正方形面积相加就得出总面积。

生5：我想补充，其实在数学中没有说谁的方法行或者不行，只是我们把复杂的题目变简单，把陌生的图形画成我们熟悉的图形。按生2 的方法在图形旁边画一条竖线段分成一个长方形和一个边长为3m的正方形就可以了，再分长方形，画蛇添足了。能直接求的面积就不要走弯路去绕，生2的方法更简单。

师：你解说得真透彻。化繁为简，变复杂为简单是数学中非常重要的转化思想。（板书：繁→简，复杂→简单，转化）

生6：我的这个方法可能比前面的方法要复杂一点，我是把这个组合图形分成两个梯形（如图7）。左边梯形上底就用6-3=3（m），右边梯形的上底是7-4=3（m），两个梯形的下底和高都已知，根据梯形的面积公式就可以求出客厅的总面积是18㎡与15㎡的和，是33㎡。

图7

图8

生7：我还有不一样的方法，我的方法是不把它切割，而是在这个少的地方补上一个正方形（如图8）。因为补上这个正方形它就变一个大的长方形。

生8提出质疑：补上的图怎么知道它是一个正方形？

生7：因为这个长方形的长是7m，左边已知部分是4m，右边未知部分就是7-4=3（m）；再看大长方形的宽是6m，已知部分是3m，未知部分就是6-3=3（m），未知部分的长和宽的边长都是3m，所以就是正方形。然后用6×7=42（㎡），算出整个大长方形的面积。再减去正方形3×3=9（㎡）的面积就等于这个客厅的面积。42-9=33（㎡）。大家还有什么疑问吗？

生9：我有一种比这更容易理解的方法。因为我们以前学习求梯形面积的时候用两个一样的梯形把它拼成一个平行四边形，那我发现用两个一样的图形可以拼成一个大的长方形，这个客厅的面积就是大长方形面积的一半（如图9）。

图9

师：真的吗？把你的方法给大家演示一下好不好？

生9：就是这样的，这个长方形的长4+7=11（m），宽不变还是6m，11×6=66（㎡），客厅的面积是大长方形面积的一半，就是66÷2=33（㎡）。

生10：我发现这个组合图形刚好可分割成一大一小两个长方形，这两个长方形的宽都是3m，上面小长方形分割后添补到下面来，它们正好能拼成一个大长方形（如图10），大长方形的面积就是客厅的面积，也就是长为7+4=11（m），宽3m，面积为11×3=33（㎡）。

图10

在这个教学环节中，教师放手让学生进行尝试与探究，在学生独立思考的基础上，再组织课堂分享与交流。在生生互动的思维碰撞中，课堂不时激发出智慧的火花。学生不仅想到了四种常规思路，还想到了后面两种富有创造力的方法，不仅深度参与教学过程，还深刻把握了教学内容，提高了用多种方法解决问题的能力。

（三）“深度”概括，形塑数学思想

师：通过这些方法的交流，你有什么发现？

生1：我发现这些方法都有一个共同点：可以把一个陌生的图形通过添补或者分割，变成我们熟悉的图形。

生2：该组合图形通过同学们的分割和添补，成为我们学过的基本图形，我发现可以总结出两种方法：一种就是前面三种包括最后一种方法都是割补法，把组合图形分成我们熟悉的图形。另外一种方法是把所缺的部分补充完整，然后算出完整图形的面积，再减去添补部分的面积，就等于我们要算的面积。因此两种方法是：割补法与添补空白法。

生3：我想补充，不管求什么图形的面积都得知道一些数据。分割法就要知道两个图形求面积的数据，再把两个图形的面积加起来。添补法也需要知道完整图形的面积后再减去添补的面积。我们要找出那些没有标数据的地方，比如说现在有一条边没有数据，如果你需要它，就要找跟它相等的线段；如果没有，就要找跟它相差的地方。比如用这个方法推算这个图形是长方形还是正方形，就看这条边是多少。我们知道这条线段是7m，把这条线平行过来，这条线段总共是7m，这里是4m，那么就是7-4=3（m），这是一种方法。

师：同学们善于观察，善于思考，不仅发现了方法，还知道如何找图形中隐藏的数据，这是解决问题的关键，你们有一双善于发现的眼睛。解决组合图形的面积问题，既可以对组合图形进行分割，分割成我们学过的基本图形，然后再加起来求和，这种方法叫分割法；也可以把缺了的部分补起来，这种方法叫添补法。有时候，既用分割法又用添补法，比如像生10 的方法，我们是先分割，然后再添补，这种就叫割补法。它可以帮助我们解决很多生活中求面积的问题。

在引导学生交流多种组合图形面积的计算方法后，教师进一步引导学生继续深度思考，进行总结和提升，归纳出解决组合图形面积问题的常用方法——分割法和添补法，并让学生体会和感悟到其中隐含的数学思想。

二、数学课堂深度教学策略思考

（一）“明”“暗”互融

在课堂教学中，教师应把握好一条明线和一条暗线。明线是学生对基本知识与基本技能的掌握，暗线是学生对基本数学活动经验的积累和对基本数学思想方法的感悟。本课教学的明线是引领学生思考并掌握组合图形面积的计算方法，暗线是让学生积累“割”或“补”组合图形的活动经验，感悟“转化”这一重要的数学思想。教师通过有效的活动设计与课堂提问，让学生在思考与交流碰撞中，既“得法”又“明理”，也就是说，既让学生掌握组合图形面积计算“分割”或“添补”的方法，又感悟到“转化”这一重要的数学思想，达到深度教学的要求。

（二）核心问题引领

本课教学设计非常简洁，只有三个核心问题。“仔细观察，它们（这些图形）分别由哪些基本图形拼成的？”“客厅面积有多大？”及“通过这些方法的交流，你有什么发现？”整堂课均以这三个核心问题为驱动，引发学生的深度思考与交流。教师在问题提出以后，要舍得把时间交给学生让其独立思考，在每个学生都有了学习与思考成果之后，再用较多的时间组织生生交流、全班分享，在人人参与的“深度教学”氛围中，实现学生的深度学习。

（三）进退有度

学生有了多种解法以后，如何安排交流的顺序？每种方法如何呈现？学生介绍完自己的方法，教师如何引导全班学生进行思考？教师在课堂的这个环节起着重要的“定海神针”的作用。教师要“到位”而不“越位”，自己尽量少讲或不讲，放手让学生交流碰撞。在每位学生讲解了自己的做法之后，教师要用精练的语言或眼神鼓励学生进行质疑、补充、纠正及优化，再对学生发现与交流的多种方法进行总结与归纳。在这节课中，每位学生都非常专心倾听，深度参与、思考，学生进入了深度学习的状态。教师把握教学“进退”的策略必须持之以恒。