蔡振树

【摘要】数学是抽象的思维学科，在数学学习中，它需要学生的智力参与和独立思考，别人是无法替代的，只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时才能真正学好数学，才能使人产生有活力的思想，高中数学有意义教学更需体现以学生为本.本文结合利用导数研究函数单调性案例来探究高中数学的有意义教学.

【关键词】高中数学;有意义教学;导数;函数;单调性

【基金项目】本文系教育部福建师大基础教育课程研究中心2018年开放课题“立足核心素养培育的差异数学研究”（批准号：KC—2018036）研究成果.

纵观近几年的高考试题，利用导数研究函数的单调性及相关问题仍是高考的热点和重点.虽然高考试题新颖性、灵活性越来越强，但众所皆知，利用导数研究函数的单调性与函数最值极值的研究紧密联系，它实现了函数与不等式、方程等多个知识点的交汇，涉及多种数学思想方法，如，数形结合、分类讨论、等价转化等.下面就三个方面谈谈利用导数研究函数单调性的有意义教学.

一、利用导数研究函数的单调区间

我们常常会遇到一种情况，解决问题到某一步之后，不能再以统一的方法，统一的式子进行下去，这是被研究的对象包含了多种情况.此时，需要关注学生的学习差异，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳解，这就是我们熟悉的分类讨论.分类讨论这一数学思想方法的考查仍是高考的重点和热点，而分类讨论时最难做到的就是标准统一，不重不漏，明确何时该分类.这里我们以一道求含参函数的单调区间为案例进行研究.

案例1已知f（x）=12x2-ax+（a-1）lnx（a>1），求f（x）的单调区间.

案例分析到f′（x）=（x-1）（x-a+1）x>0（x>0）时问题真正暴露出来了，这时f′（x）=0两根x1=1，x2=a-1的大小不明确了，有多种情况，从而引发分类讨论.这时教师如能适时地抛出问题“何时需要分类讨论”，一定是可以触动学生的，这时的研究就会更有意义了.浅显的案例其实蕴含着深刻的原理.

打铁趁热，在学生讨论情绪热烈时抛出另一个问题，去掉案例中a>1这个条件，结论又当如何？有了前面的探究有助于提高经验，学生很自然地会去关注两根与0以及两根本身的大小关系，从而诱发了x2与0，1大小的比较.真正做到分类标准统一，不重不漏.

通过本案例的分析和研究，一者可以树立学生分类讨论的信心，突破难点，二者鼓励学生多思考，大胆对案例进行有建设性的改造，培养创新能力.

二、利用导数探究参数的取值范围

探究参数取值范围在高考考查中是很常见的，这类问题的探究很考验学生的数学功底，是发展学生素养的重要载体，体现学习差异，让不同学习水平层次的学生得到不同的发展，同时注意解决问题的方法呈现多样性.对这类问题的研究，除了有助于学生解题能力的提高，还能提高学生科学分析，善于总结，勇于探究解决问题最优方法的能力.

案例2已知a∈R，函数f（x）=（-x2+ax）e-x（x∈R），若函数f（x）在（-1，1）内单调递减，求函数f（x）的取值范围.

案例分析过程中，问题转化成f′（x）=e-x（x2-ax-2x+a）≤0对任意x∈（-1，1）恒成立是比较顺利的，可见学生在平时学习中能充分注意到函数在某一区间单调递减是f′（x）≤0，而非f′（x）<0这一易错点，并且学生能进一步将上面的恒成立问题转化为x2-（a+2）x+a≤0对任意x∈（-1，1）恒成立亦是可贵的.作为高考的复习课，学生已经通过之前的学习，掌握了相当的分析、解决问题的能力了，所以此时课堂更应留给学生，放手让他们解决问题.

课堂实际体现，本案例大部分学生基于x∈（-1，1）这一条件，推出x-1<0，倾向于应用方法一：参变分离，转化成a≤x2-2xx-1，x∈（-1，1）的恒成立问题.往下的分析选择构造新函数，再次利用导数解决问题的居多，充分说明导数在解决函数问题中的重要地位，但也有少数人选择令t=x-1，结合换元法求解，这时又产生了一个新问题，对新元t的取值范围必须关注，关注细节处理，使得我们的解决方案有效是最实在的，严谨治学态度的形成对高考当然是重要的，对一个人生活态度的影响也是不可估量的.

从本案例的研究过程，可见学生的大胆质疑，善于发现问题，善于进行总结.

三、利用导数研究函数的最值和极值问题

案例3已知函数f（x）=x-alnx，（1）略;（2）求函数f（x）的极值;（3）当a>0时，求函数f（x）在[1，e]的最小值.

案例分析：第（2）问f′（x）=x-ax=0（x>0）的根x=a有否在定义域内的问题，从而引发了讨论.在这里要及时提醒学生注意a≤0时，f′（x）>0恒成立，函数无极值这种情况不要遗漏.而a>0时，单调区间，极值通过列表可以一目了然.第（3）问中仍需分a≤0，a>0两种情况进行讨论，其中在a>0的这一情况中还需考虑a与1，e的大小关系，在这里出现了学生比较茫然，也比较不擅长的二级讨论，这样的分类讨论要求较高，体现差异性大.可以通过课堂教学案例设计的层层推进.

通过选择一些典型的案例進行探究教学，既能让学生学会这类问题的解决，日积月累，又能让学生体会分类讨论、化归等数学思想.以学生为主体的有意义教学，更能让学生“创新的火花闪烁在课堂，灿烂在未来”，学生的独到见解及时得到肯定和推广，信心倍增.这样的数学教学就不仅仅意在高考，对生活也是有积极意义的，这是新时代核心素养培育的有力实践.

【参考文献】

[1]梅华.“利用导数研究函数的单调性”教学设计及反思[J].中学课程辅导（教师教育），2018（3）：96.

[2]宋淮南.利用导数研究函数的单调性的拓展教学[J].数学学习与研究，2016（3）：73.