(中山开放大学，广东 中山，528402)

1 引言与主要结果

定理A如果f(z)是超越的全纯函数，其增长级满足：0<ρ(f)<∞，这里

则对于任意有限复数a，都有

μ(f-a)=ρ(f)

至多有一个a值例外,其中μ(f-a)称为f(z)-a的零点序列的收敛指数，可根据如下定义1给出.

定义1给定复数序列{zn}，满足条件：0<|z1|≤|z2|≤… (如果{zn}是无穷序列，则有|zn|→∞(n→∞)).用n(r)表示圆盘Dr={z:|z|≤r}内所含序列{zn}中复数的个数(按重数计算)，称之为序列{zn}的计数函数. 令

称其为序列{zn}的收敛指数.

定理A中的例外值称为全纯函数f(z)的Borel值.

1929年，芬兰数学家Nevanlinna发展了一套理论，引进亚纯函数的特征函数T(r,f)，将上述结果推广到亚纯函数[3]：

定理B如果f(z)是超越的亚纯函数，其增长级满足：0<ρ(f)<∞，这里

μ(f-a)=ρ(f)

至多有两个a值例外.

定理B中的例外值称为亚纯函数f(z)的Borel值.

此后，众多学者从不同的角度对上述定理进行了推广[4-6].最近，我们对于ρ(f)=∞的情形，采用Sato引进的方法[7]，将Borel定理推广到具有p阶正级的亚纯函数的情形，给出了如下定理[8].

μp(f-a)=ρp(f)

至多有两个a值例外.其中

称为f(z)的p阶增长级，这里log[1]u=log+u,log[k+1]u=log+{log[k]u}.而μp(f-a)是f(z)-a的零点序列{zn}的p阶收敛指数，由下列公式定义：

当f(z)是全纯函数时，其p阶增长级还可由下式定义

这里，M(r,f)是f(z)的最大模函数.

我们称上述定理中的例外值为亚纯函数f(z)的p阶Borel值.

这些结果都没有论及增长级ρp(f)=0的情形.有学者断言：ρ(f)=0的亚纯函数没有Borel值！其实不然！我们发现：存在ρ(f)=0的超越亚纯函数，有一个Picard值！当然，更可以有一个Borel值.

本文，我们采用Juneja等学者的方法[10]，对满足ρp(f)=0的亚纯函数的增长性进行更细致的刻划，引进如下定义.

定义2给定整数p≥1，设f(z)是p阶零级、p-1阶无穷的超越亚纯函数，即有：ρp(f)=0，ρp-1(f)=∞.对于整数l≥m≥0，称

为f(z)的p阶零级增长型.进一步，

(1) 称f(z)是p阶零级极小型的，如果存在m≥0，使得：1≤σp(m,m+1;f)<∞；

(2) 称f(z)是p阶零级极大型……