◎朱 萍

作为初中学生，掌握一些重要的数学思想方法不仅重要，而且必要。没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识。有了数学思想方法作灵魂，各种具体的数学知识点就不会孤立、零散。如果我们在学习数学的过程中，能始终抓住数学的思想方法，那么学好数学知识、正确熟练解题将不再是难事。以下就谈一下“整式乘法和因式分解”这一章中我们会遇到的数学思想方法。

一、数形结合思想

“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”把代数和几何相结合，几何问题用代数方法解答，代数问题用几何方法解答，就可使所要研究的问题化难为易、化繁为简。在本章的学习过程中，数形结合始终贯穿其中，教材从同一个图形面积的不同计算方法引入，通过归纳得出法则或公式，最后通过验算证实结论，让我们体会到了借助图形直观发现整式乘法法则和乘法公式的好处，真正感悟数形结合的思想。

例1先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图1的面积关系来说明。

图1

（1）根据图2写出一个等式_____；

图2

（2）已知等式：（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明。

【分析】第（1）小题长方形是由4个正方形和5个小长方形组成，从整体和分割两个不同的角度分别表示该图形的面积，就可列出等式。第（2）小题是反过来给出等式，要画出相应的几何图形。题目前半部分提示我们：是否可以把等式的两边看成是长方形的面积的不同表示，左边的x+p和x+q分别看成长方形的长和宽，右边的多项式x2+（p+q）x+pq可以看成组成该长方形的各个图形的面积和，易看出组成该长方形的图形为一个边长为x的正方形，三个长宽分别为x和p、x和q、p和q的长方形，从而很快画出几何图形。

解：（1）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；（2）所画图形如下：

二、转化思想

转化思想是数学解题中的一种重要的思想方法，又称化归思想。它可以是已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、动与静的转化等。在解题时，我们往往会用到把未知向已知转化，从而求解。

例2 已知x2+2y2-2xy+2y+1=0，求x+2y的值。

【分析】本题已知的方程不是我们已经学过的一元一次方程，常规方法显然不能解。由于该方程中含有x和y的平方项，并且有-2xy这个单项式，可以想到把原方程左边的多项式转化成两个完全平方式，得到非负数之和为零的形式，进而求出字母的值。

解：∵x2+2y2-2xy+2y+1=0，

∴x2-2xy+y2+y2+2y+1=0，

∴（x-y）2+（y+1）2=0，

∴（x-y）2=0，（y+1）2=0，

∴x=-1，y=-1，

∴x+2y=-3。

三、分类讨论思想

当我们研究的对象出现不确定因素的时候，就要按不同的情况进行分类讨论。正确应用分类讨论思想，是完整解题的基础。

例3 多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是_______。

【分析】题目要满足的条件是成为一个整式的完全平方，而整式包括单项式和多项式，如果结果是单项式的平方，那么加上的单项式就是-9x2或-1；如果结果是多项式的完全平方，则我们需要结合完全平方式的特征来看。完全平方式：a2±2ab+b2，其中有两个平方项，符号都为正，中间项是两数乘积的两倍，符号是正负都可，那么如果把题中的两项都看成平方项，不难得出添加的单项式应为±6x；若题中两项看成一个是中间项、一个是平方项，则应添

解：-9x2或-1或±6x或

四、整体思想

整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。我们在解决数学问题时，往往只看到眼前的条件，或是只关注局部的问题，从小处着手，按常规方式思考问题，这样往往会进入死胡同。事实上，我们在研究和解决数学问题时，如果能采用整体视角观察思考，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，并进行整体处理，就会发现思路一下子拓宽了，过程优化了，题目变得简单了。

例4 若x2+4x-4=0，则3（x-2）2-6（x+1）·（x-1）的值为（ ）。

A.-6 B.6 C.18 D.30

【分析】这题是求代数式的值。初中阶段，代数式求值问题一般有两种方法：一是把字母的值求出来，然后直接代入求解；二是整体代入求值。本题已知方程不是一元一次方程，在七年级阶段，我们是无法求解的，即便以后会求，代入计算也是比较繁琐的。这时我们就要考虑把方程变形成x2+4x=4，利用整体代入的方法求代数式的值。此处不急于做出选择，把待求的代数式化简、合并、整理后再做决定。

解：先化简3（x-2）2-6（x+1）（x-1）=-3（x2+4x）+18，由x2+4x-4=0得 x2+4x=4，所以原式=-3×4+18=6，故选择 B。