山东 史立霞 秦 振

存在性问题是探索题的一种，在解析几何中就是判断满足某些条件的参数、点、直线、曲线等几何元素是否存在的问题.它通常以开放性的设问方式给出：若存在符合条件的“元素”，就求出这些“元素”；若不存在，则要求说明理由.解决存在性问题的方法是先假设满足条件的元素存在，然后利用条件转化为代数问题进行计算和推理，如果能得到相应的结果，就说明满足条件的几何元素或参数值存在；否则，不存在.

一、是否存在“值”的问题

题型特点：一般是在确定的条件下判断某个常数是否存在，或是否存在某个常数的范围，或某条线段是否存在最小值(或最大值)，或某个图形的面积是否存在最小值(或最大值)的问题.这类问题常常出现“是否存在”“是否有”“是否变化”等疑问句，以示结论有待判断.

解题策略：解决这类问题的策略是先假设需要探索的“值”存在，从条件和假设出发进行运算、推理，若出现矛盾，则否定存在；如果不出现矛盾，则肯定存在.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)AB是经过右焦点F的一条弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.

说明:第(Ⅱ)题的解法具有代表性，我们可以称为“形成性解法”，它是按照试题的形成过程一步一步操作，经过计算，推理得到答案.

二、是否存在点的问题

题型特点：一般是在确定的条件下判断某一点，或某几个点是否存在的问题.这类问题也是以“是否存在”“是否有”“是否变化”等疑问句呈现，以示结论有待判断.

解题策略：解决这类问题的策略是先假设需要探索的点存在，设出点的坐标，从条件和假设出发进行运算、推理，若出现矛盾，则否定存在；如果不出现矛盾，则肯定存在.最后求出点的坐标.

(Ⅰ)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；

(Ⅱ)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

(Ⅱ)根据问题的特点，设点A在第一象限可以省去tan∠OQM，tan∠ONQ与直线QM，QN斜率之间符号的讨论.由∠OQM=∠ONQ转化为kNQ·kMQ=1，由此列出方程解决.

三、是否存在直线的问题

题型特点：一般是在确定的条件下判断某一条直线，或几条直线是否存在的问题.这类问题也是以“是否存在”“是否有”“是否变化”等疑问句呈现，以示结论有待判断.

解题策略：解决这类问题的策略是先假设需要探索的直线存在，设出直线方程为y=kx+b，从条件和假设出发进行运算、推理，将问题转化为探索参数k和b的存在问题.若直线的斜率和截距存在，则所求直线存在，可求出直线方程；若出现矛盾，则否定存在.注意直线斜率不存在时，需要验证此时直线的存在性.

(Ⅰ)求C1，C2的方程；

(Ⅱ)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.

(ⅰ)证明：MD⊥ME；

说明:解(ⅱ)时，假设直线l存在，发现两个三角形共顶点，从而将三角形面积的比值转化为对应边乘积的比值，再转化为对应横坐标乘积的比值，由此联想到根与系数的关系，构造关于k的方程，使问题顺利解决.可见平面几何知识的合理运用，对解析几何问题的解决可能起到关键作用.

四、是否存在圆的问题

题型特点：一般是在确定的条件下判断某圆是否存在的问题.这类问题也是以“是否存在”“是否有”“是否变化”等疑问句呈现，以示结论有待判断.

解题策略：解决这类问题的策略是先假设需要探索的曲线存在，设出圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，从条件和假设出发进行运算、推理，将问题转化为探索参数a，b和r的存在问题.若这些参数存在，则所求圆存在，可求出圆的方程；若出现矛盾，则否定存在.

例4曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2(k>0)的点的轨迹.

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)定义：若存在圆M使得曲线C：f(x,y)=0上的每一点都落在圆M外或圆M上，则称圆M为曲线f(x,y)=0的收敛圆.判断曲线C：f(x,y)=0是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由.

分析:(Ⅰ)可采取直译法求曲线C的方程；

(Ⅱ)根据图形的特点确定圆心坐标，再由圆与曲线C的关系求出半径.

解：(Ⅰ)设曲线C上任一点的坐标为(x,y)，则根据题意，可知曲线C的方程为|x+1|·|y-1|=k2.

说明：此题是创新拓展型问题，它的特点是给出新概念，让考生在新概念下解决新问题.解决这类问题的关键是理解新概念的内涵和外延，解题时运用已掌握的知识和方法理解“新概念”，做到化生为熟，转化为熟悉的知识，现学现用.

五、是否存在圆锥曲线的问题

题型特点：一般是在确定的条件下判断某条圆锥曲线是否存在的问题.这类问题也是以“是否存在”“是否有”“是否变化”等疑问句呈现，以示结论有待判断.

解题策略：解决这类问题的策略是先假设需要探索的曲线存在，设出曲线方程，从条件和假设出发进行运算、推理，若曲线是椭圆或双曲线时，就将问题转化为探索参数a，b的存在问题.若曲线是抛物线时，就将问题转化为求参数p是否存在问题.若参数存在，则所求曲线存在，可求出曲线方程；若出现矛盾，则否定存在.

(Ⅰ)求双曲线E的离心率；

(Ⅱ)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由.

若直线AB与双曲线E另有公共点N，如图所示，则x1≠x2.因为x1=x2时，A，B关于x轴对称，y0=0.从而由对称性AB与双曲线E有三个公共点，矛盾.

当x1=x2时，有x1=x2=2，M(2,0)∈E，此时M为E的右顶点，为AB与E的唯一公共点.