合肥市第四十六中学南校区 (邮编：230091)

合肥师范学院数学与统计学院 阮 征 (邮编：230601)

合肥市肥西县上派初级中学 卫德彬 马遇青 (邮编：231200)

1 问题的提出

近几年随着大数据、互联网、云计算等信息化技术在数学教学领域的渗入，智慧学校平台应运而生，所谓智慧学校就是综合运用各种新兴的信息技术，使其与教学的关键环节深度融合，以提高教育教学质量水平的新型校园生态[1].而在初中数学教学中，能够对前面所学知识点进行浓缩、帮助学生形成知识体系、有效培养学生的数学思维、使学生加深对相关题型解题方法的了解、同时补救授课过程中存在的不足的课型就是习题课[2].说到习题课自然少不了要说习题，而最好的数学习题素材其实就来自课本.由于初中数学课本上的习题大多是编写者精挑细选后的“精华”，所以教师完全可以将其作为模式使用的典型题，充分发挥它们在解题中的模式作用[3].这里所谓的模式，就是指某种事物、某个实践活动或动作的定型样式.为此，本文尝试将智慧学校平台与课本习题模式结合起来，以沪科版《数学》八年级下册教科书中“三角形中位线定理”这一课时内容的习题和一组与之相关的问题为例，从“模式的认识”、“模式的变型”和“模式的应用”等方面对智慧学校环境下的初中数学习题模式教学予以分析说明.

2 教学分析

2.1 模式的认识

模式认识的关键是需要教师对作为样本是的习题模式从已知条件、待求(证)结论、解题过程等方面进行全面而又细致的分析，并抽取其主要特征进行储存，以便在应用模式解题时能迅速地进行模式识别，下面以课本第85页习题19.2的第13题为模式进行分析.

题目求证：顺次连接任意四边形四条边中点所得的四边形是平行四边形.

分析教师运用智慧学校平台特有的作图功能，快速画出准确的几何示意图，如图1所示，有了直观的示意图之后，本题即可以理解为：

已知四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE.

求证四边形EFGH是平行四边形.

图1

证明连接AC,

因为AH=HD，CG=GD.

所以HG∥EF，HG=EF.

故四边形EFGH是平行四边形.

通过分析智慧学校平台展示的本题证明过程，不难从“已知条件、待证结论、解题过程”这三个方面发现作为模式的题目1有如下特征：

(1)已知条件：①四边形EFGH为一般四边形(任意四边形)；②四边形ABCD四条边上的中点分别为点E、F、G、H.

(2)待证结论：四边形EFGH是平行四边形(特殊四边形).

(3)解题过程：①应用 “三角形中位线定理”；②添辅助线“四边形ABCD的对角线AC”，构造其内部的三角形.

2.2 模式的变型

通过实践发现，教师运用智慧学校网络平台环境来主动对模式进行变型或辨别变型模式可大大加深对模式的认识，更能提高学生的解题能力和归类能力.以刚才那道习题为例，可进行如下几种变型：

变型1 求证：顺次连接矩形四条边的中点所得的四边形是菱形(课本第98页习题19.3的第8题).

变型2 求证：顺次连接菱形四条边的中点所得的四边形是矩形.

图2

变型3 如图2所示，在等腰梯形ABCD中 ，AD∥BC，点E、F、G、H分别是四边的中点，求证：四边形EFGH是菱形.

图3

变型4 如图3所示，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD，求证：四边形EFGH是菱形.

综上不难发现变型1—变型4都是在先前那道课本习题的基础上通过强化条件拟就的.

此外，倘若改变图形的位置，即可生成变型5和变型6，智慧学校平台在这里则有效实现了图形的变换以及图形上关键点位置移动的动态过程，让学生能够清晰地看到由前一题的图形经过怎样的变化生成这一题的图形，有效避免了学生因图形的变换或上面的关键点突然换位而造成的思维不适应.

图4

变型5 如图4所示，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.

图5

变型6 如图5所示，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD，求证：四边形EFGH是菱形.

仔细观察变型1—变型6，不难察觉到经过“强化条件”和“改变图形位置”后得到的变型题，仍保留了题目原型的主要特征，在智慧学校平台环境的辅助下实现了真正意义上的“换汤不换药”.

2.3 模式的应用

除了模式的变型外，应用模式解题也是一节初中数学习题课取得成功的重要法宝，模式应用的关键点就在于发现习题的主要特征，并与已知模式的主要特征建立联系，从而顺利地进行模式的识别.因而能否在“习题”和“模式”间建立联系，则在较大程度上决定着解题的速度和准确性，而有了智慧学校平台的数学习题课做到了，这里依然以前文那道题为模式进行探讨.

应用1 求证：连接四边形对边中点的两条线段互相平分.

分析本题的已知条件与模式中的完全相同，已知条件有：①四边形；②四边形各边上的中点.因此，完善模式的结论，即添加辅助线，顺次连接各边中点的平行四边形，进而推导出本题结论.

图6

应用2 如图6所示，四边形ABCD中，∠ABC+∠DCB=90°，点E、F分别为边AD、BC的中点，点G、H分别为对角线BD、AC的中点.求证：EF=GH.

分析由本题的已知条件四边形ABCD和它的一组对边的中点E、F，两条对角线的中点G、H，可以联想到模式的变型5，不难发现本题仍需

要通过完善模式变型的结论来寻找证明途径.依次连接E、G、F、H各点后得到平行四边形，延长FH交CD于点K(或延长FG)，易证∠FKC=90°，进而易证四边形EGFH是矩形，故EF=GH.

以上两题中的部分已知条件或与模式、或与模式变型中的主要特征相同，所以在解题时只要完善结论、利用模式的结论作中途点，即可顺利找到解题途径.

图7

应用3 如图7所示，四边形ABCD中，点M、N为边AD、BC的中点，MN交AC于点H，交BD于点G，且BD=AC.求证：OG=OH.

分析由本题的已知条件易联想到模式的变型4，取边AB、CD的中点，可得菱形MENF，进而推导∠EMN=∠ENM.又由三角形中位线定理，可推导出EM∥BD，EN∥AC，故∠EMN=∠OGH，∠ENM=∠OHG.综上可得∠OGH=∠OHG，所以OG=OH.

3 小结

本节习题课在追寻高效、智慧的数学教学的同时，充分利用现代信息技术，探究新型的课堂教学模式服务于数学习题课教学，至始至终都没有脱离课本，并且以课本习题为模式，努力做到解读课本、重构课本并超越课本[4].可以说这次借助智慧学校平台环境对一道课本习题模式进行有效的认识、变型与应用的尝试，不同于以往的初中数学习题课教学.因为课本习题可以比喻为教材编写者精心编写的“源”，而大多数课外辅导资料则可看成是以“源头”——课本习题为模式编写而成的“流”[5]，所以以课本习题为模式并结合智慧学校平台的动态图形演示的新型习题课有效激发了学生的形象思维和逻辑思维，使其能够高效率地吸收解题方法的精髓并触类旁通，更为学生发现问题、分析问题和解决问题能力的培养提供了一个优质的平台，可以说这次新型初中数学习题课教学是一次正确的尝试，在不久的将来必能得到大力推广.