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平面镜夹角成像探究

2019-04-12崔善欣崔善良

科教导刊·电子版 2019年5期
关键词:物像规律性平面镜

崔善欣 崔善良

摘 要 平面镜成像遵循的基本规律是光的反射定律,成正立、等大的虚像。学习中发现有一类特殊的成像——平面镜夹角成像问题。初步探究发现,将两个平面镜成一定夹角放置时,在两平面镜前放置一个物体,在两个平面镜中可以观察到物体所成的像的个数不是固定的,成像个数与两平面镜的夹角之间存在非常有趣的规律性。下面,我仅对就平面镜夹角成像的规律做简要分析。

关键词 平面镜成像 规律探究

中图分类号:G633.7 文献标识码:A

ABCD为一平面镜,在其中心的正上方h处有一物点A,则据平面镜成像原理可得,S通过平面镜ABCD所成的像S对称地分布在平面镜下方距平面镜h处。

现在,把平面镜ABCD沿中线OO切开,装上一可自由折叠的绞链,平面镜AOOD和平面镜OBCO为固定转动轴自由转动,且规定SO始终在两平面镜所夹二面角的角分线上,AO、BO向上对称的折叠而物点S不动,在这种变化下,在S点观察S所成的像,会发生怎样的变化呢?有没有规律可循呢?

我们先来的研究AO和BO向下折的情形,此时∠AOB大于 ,S点发出的光线通过平面镜反射后全被平面镜AO和BO反射出去,不会返回到S点,即在S处观察不到S的像,亦即∠AOB大于 时,在S点观察到像的个数为零。

当∠AOB= 时,能观察到一个S的像。

当AO和BO向上偏折,∠AOB小于 时,情况又会如何呢?

S发出的光线垂直面镜OA的光线被返回,S可观察平面镜OA所成的像SA,同理,还可观察到平面镜OB所成的像SB,因此,在此状态下,在S点可通过平面镜看到S的两个像SA和SB。这两个像可以看作是原来的一个像S随平面镜OA和OB的夾角∠AOB的减小而分离得到的。

下面,我们看一下当面镜继续折叠,∠AOB等于2 /3时成像的情形。

当∠SAS SB= /3时,△SAS SB为正三角形,也就是当∠AOB等于2 /3时,物像分布在正三角形的三个顶点上,随镜的夹角的减小,SA和SB间距离进一步拉开,那么,当∠AOB减小于 /2时,情况又如何呢?

当∠AOB= /2,此时,S通过面镜OA、OB所成的像分别为SA、SB,除此之外,SA通过面镜OB又可以成像S,同理,SB通过平面镜OA也可以成像,根据平面镜成像作图发现,此时这两个像呈在同一位置。在S点,此时只能观察到SA、SB和S三个像,且物像分布在同一正方开的四个顶点上,非常规则。随两平面镜OA和OB的继续折叠,S分裂为两个像且逐渐离开,当∠AOB达到2 /5时,则物像又呈现规则图形。

此时,通过平面镜OA可以看到SA和SB在OA中成的像SB,通过平面镜OB可以看到SB和SA在OB中成的像SA。因此,此时可以看到四个S的像,且这四个像和S均匀分布在正五边开的五个顶点上。当∠AOB继续减小时,像SA和SB继续分开,当∠AOB等于 /3时,此时通过平面镜OA可以看到SA、SB在OA中成的像SB和SA在OA中成的像SA,通过平面镜OB可以看到SB、SA在OB中成的像SA和SB在OB中成的像SB,此时据平面镜作图发现,SA和SB是重合的,因而此时可以看到五个像,此时物像均匀分布在正六边形的六个顶点上。

当∠AOB继续减小时,像SA和SB分离。

由以上列举的几种情形可以看出,随平面镜OA和OB间夹角的变化,像的个数分布呈现一定的规律性,下面作简细分析:

当两面镜的夹角为 时,像为1个,当夹角小于 时,则像由1个变为两个,随着两面镜夹角的减小,两个像逐渐远离,当∠AOB= /2时,出现第三个像,当∠AOB< /2时,第三个像分开成为两个,随∠AOB的减小,第三四个像又逐渐远离,∠AOB=2 /5时,出现第五个像,下面列表总结一下成像与夹角的关系。

成像个数、物像形状与两平面镜夹角的关系。(注 即∠AOB)

由上表可以看出,成像个数与两平面镜夹角间存在规律性变化,下面用简单的数字把这种规律性呈现出来,即:

夹角 : 2 /3 2 /4 2 /5 2 /6 2 /7……

像的个数:1 2 3 4 5 6

列出以下对应关系的通项为:

(n+1)=2

n+1=2 /

n=2 / -1

注意到这里n是像的个数,只能是整数,而本式是由特殊情况( 能被2 整除)得出的,对于 不能被2 整除时,该式显然不成立,因为此时所得n的数值为小数,不符合成像规律。经过研究成像规律及列表看到,当物S通过两平面镜成像个数为奇数时,仅在 为某一特殊值时成立,而在过渡阶段所成像的个数都为偶数,故而,我们只需对上式中当n取小数时加以规范即可:

即:n=2 / -1 当n为小数时,取最接近它的偶数。

利用本式,只要知道了两平面镜间的夹角,即可求出S成像的个数。当 能被2 整除时还可判断出物像组成的规则形状。

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