刘泳

【摘要】指出关于描述谐振动的几个公式中各物理量的普适性特点，以及在各种典型模型中的对应变化，从而加深对简谐振动的理解。

【关键词】简谐振动 回复力 系统常数 简谐振动的微分方程 固有圆频率 简谐振动方程

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）08-0233-01

在工科大学物理的教学中，研究机械振动是以简谐振动为理想模型，而简谐振动理想模型又是以弹簧振子为例进行分析研究的，而教科书中没有明确指出推出的一系列公式对简谐振动的普适性，使学生在学习中产生一些迷惑，现明确以下几个公式的概念。

一、关于F=-kx （1）

一个振动只要满足（1）式，即可证明此振动为简谐振动。因为教科书是以水平弹簧振子为例得到的（1）式，因此学生容易把此式和中学的虎克定律弄混，在教学中应进一步明确（1）式中的F是指能使物体在平衡位置附近来回往复运动的回复力。对于水平弹簧振子，F是指弹簧的弹性力。而对竖直悬挂的弹簧振子，F则由重力和弹力的合力组成。对单摆是由重力沿切向的分力组成。（1）式中的k对于弹簧振子而言，正好为弹簧倔强系数，但对摆长为l的单摆

k= （2）

可见k是由系统决定的常数，可定义为系统常数。x表示相对于平衡位置的线位移。

（1）式还可用角量表示为

F=-k′ （3）

对摆长为l的单摆，k′=mg。可见由系统常数k来描述谐振动性质有其不确定性，对同一个单摆系统，当用线量表示其振動规律和用角量表示其振动规律时，系统常数的形式是不同的。

二、关于 +2x=0（4）

（4）式为简谐振动的微分方程形式。以单摆系统为例，设摆锤质量为m，摆线长为l，摆角为 ，对单摆系统，因为 ≤50，所以sin ≈ ，x表示相对于平衡位置的线位移，回复力由重力沿切向的分力组成：

F=-mgsin ≈-mg =- x（5）

根据上式可推出由角量表示的微分方程形式：

F=ma=mla=ml =-mg ？圯 + =0（6）

与标准微分方程对比，可知？棕= 。

根据（5）式也可推出由线量表示的微分方程形式：

F=ma=m =- x？圯 + x=0（7）

与标准微分方程对比，可知？棕= 。

可见由常数？棕来描述谐振动性质，对同一个单摆系统，用线量表示其振动规律和用角量表示其振动规律时，？棕的形式是相同的。所以其能表示振动系统本身的固有属性，振动系统本身的物理性质，因此被称为固有圆频率或固有角频率。只要写出简谐振动的微分方程形式，和标准形式对比，就可求出固有圆频率？棕，知道了？棕就可求固有周期T，固有频率v。

T= ，v= （8）

三、关于x=Acos（？棕t+？渍）（9）

上式是简谐振动的运动方程，简称简谐振动方程。教科书中只简单叙述上式为简谐振动微分方程的解。在教学过程中可利用简谐振动过程中机械能守恒，推导出简谐振动方程，使学生更明确A，ω，ψ的物理意义。简明证明过程如下：

当谐振子处于最大振幅处时，系统机械能E1= kA2（10）

当谐振子处于相对于平衡位置为x处时，系统机械能E2= kx2+ mv2（11）

因为在简谐振动过程中，只有系统的保守内力做功，其他非保守内力和外力均不做功，所以系统作简谐振动的总能量必然守恒，所以：

对上式分离变量，两边分别积分：

令？棕= ， 则（13） 式可写为：

一般， 为了能用旋转矢量图直观的表示简谐振动的各物理量，我们令？渍′= -？渍则：

通过以上深入的讲解，让学生对简谐振动模型有了更全面的认识， 取得了较好的教学效果。

参考文献：

[1]物理学（第六版）东南大学等七所工科院校编，马文蔚，周雨青，解希顺改编。