李江华

[摘   要]随着高中数学教学改革的不断推进，渗透数学文化，提升学生的数学核心素养已成为广大数学教师需要面对的课题，文章以《向量的概念及表示》的教学为例，探讨数学文化的渗透及核心素养的提升.

[关键词]灵动生成;渗透文化;提升素养

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）05-0007-03

2018年1月16日，教育部发布《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《新课标》）， 《新课标》提出了数学核心素养的概念.在文中指出：“学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力.数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及感情、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.数学学科核心素养包含：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.”基于新课标对核心素养的要求，本人在设计《向量的概念及表示》教案的过程中，让数学核心素养在课堂上的培养得到了充分体现.本课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修4）》（苏教版）第2章“平面向量”第1课时.现将该课教学设计与教学反思向各位同行做个汇报，不足之处敬请指正.

一、灵动生成

问题情境1

脑筋急转弯：高速公路上，警察开着速度可达250公里/小时的宝马，逃犯开着一辆时速不超过120公里/小时的桑塔纳，为什么警察没有能抓到逃犯？

【设计意图】数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，情境1的引入，为抽象出数学概念做了铺垫，也渗透了人生哲理，我们学习生活亦当如此，不仅要努力，还要注意努力的方向。

问题情境2

湖面上有三个景点O、A、B，一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客送至景点B.从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移.位移和距离这两个量有什么不同？

【设计意图】承上启下，通过情境2，让学生感受到方向的重要性，同时也为情境3的完成做好铺垫.

问题情境3

请给下面的量分类，分类标准自定：

面积 距离 位移 身高 速度 质量 加速度 体积 力 密度 路程

【設计意图】很自然地引入本节课所学课题，也为抽象出数学模型做好铺垫.

那么我们用什么样的数学模型来刻画位移、速度、加速度、力这样的量？

二、渗透文化

我们的前人用了近2000年的时间，才在数学界给它起了个名字——向量.公元前350年，古希腊伟大学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量;18世纪法国数学家、物理学家拉格朗日把带有方向的物理量数量化，但是他还是没能给这种数学模型起一个合适的名字;直到19世纪中叶，德国数学家格拉斯曼才给它起了这个漂亮的名字.但是人们把向量发展成为具有一套优良运算通性的数学体系是在20世纪初.

【设计意图】通过三个代表性人物，简要介绍向量的发展史，渗透数学文化，体现数学与生活及物理学科的联系，实现了数学建模，渗透数学建模和数学抽象的核心素养.

三、提升素养

师：通过刚才的问题情境以及教师介绍的向量发展史，你能给向量下个定义吗？这里面要注意几个要素？我们有没有学过既能表示大小又能表示方向的工具？

【设计意图】从学生的最近发展区出发，引入向量的几何表示，水到渠成.体现了发展学生实践创新的核心素养.

师：向量不仅可以用“形”来表示，还可以用字母来表示.字母表示时，我们很难感受到向量的大小，所以我们还要学会向量的数量化.

【设计意图】在渗透数学文化中选用的代表人物拉格朗日实现了向量的数量化，为这里的数量化做好铺垫.

师：向量数量化之后，发现模是大于等于0的实数，这些大于等于0的实数中，有两个数比较特殊，你们觉得是谁？我们发现这两个向量也很特殊，你能给它们分别起个名字吗？这是两个特殊的向量，而零向量是特殊向

量中的特殊，记为：[0]，它的方向是任意的.

【设计意图】类比代数，借用代数的符号来表示向量的模，同时从数的特殊性引导出特殊向量，充分体现了类比思想，逻辑推理的核心素养在这里落地生根.

反思1：

（1）向量可以用有向线段来表示，向量和有向线段有区别吗？

（2）向量能比较大小吗？向量的模可以比较大小吗？

【设计意图】加强对向量概念的理解.

探究：

（1）平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？

（2）两个不重合的点能确定几个非零向量？

【设计意图】培养学生的合作探究精神，同时培养学生直观想象的数学核心素养.

【设计意图】类比平几，给一组向量起名字， 体现了类比、数形结合思想，培养了学生逻辑推理、直观想象的数学核心素养.

师：请同学们看图3中一组向量，你能给它们一个名称，再下个定义吗？

【设计意图】体现类比、数形结合思想，特殊问题特殊处理的原则.

师：请同学们再看图4中的一组向量，名称？定义？[0]？

师：从向量的两要素出发，我们类比几何和代数，得到三种向量的关系，也充分说明向量是数与形的结合体，即向量是数形结合的载体.

反思2：

（1）[-（-a）]的意义是什么？

（2） 将一向量平移后所得的向量与原向量有什么关系？

【设计意图】解决向量问题紧扣向量的两要素，同时体现了数形结合思想.

练习：

1.下列结论中，正确的是____.

（1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合;

（2）模相等的两个平行向量是相等的向量;

（3）若[a与b]都是单位向量，则[a=b];

（4）兩个相等向量的模相等.

2.设O是正[△ABC]的中心，则向量[AO，BO，CO]是     （       ）.

A.相等向量            B.模相等的向量

C.平行向量            D.共起点的向量

3.三个不重合的点能确定           个非零向量？

【设计意图】练习考查了概念，体现了数形结合、分类讨论思想.

师：我们发现任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫作共线向量.

反思3：

向量中的“平行”“共线”与几何中的“平行”“共线”含义相同吗？

【设计意图】反思3加强对平行（共线）向量的理解，避免学生对概念的理解出现混乱.

概念辨析：

（1）若[AB//CD]，则[AB//CD].

（2）若[AB//CD]，则[AB//CD].

（3）非零向量[a与b]平行，则向量[a与b]的方向相同或者相反.

（4）两个向量共线，若起点不同，则终点也不同.

（5）若[a与b]共线，[b与c]共线，则[a与c]也共线.

（6）向量[AB与CD]是共线向量，则点A、B、C、D一定共线.

（7）任一向量与它的相反向量都不相等.

（8）长度相等的共线向量，是相等向量.

【设计意图】学生基本能直接正确口答，教师点评过程中提醒学生紧扣概念，还要注意特殊的向量[0]，加强对概念的理解和辨析，加强对数学语言的理解.

四、数学运用

[例1]已知O为正六边形ABCDEF的中心， 在图5所标出的向量中：

（1）试找出与[FE]共线的向量;

（2）确定与[FE]相等的向量;

（3）[OA]与[BC]相等吗？

（学生直接口答）

变式训练：[OA]与[BC]有什么关系？

【设计意图】例1让学生自主解答，教师适当引导.通过变式训练，进一步加深对向量概念的理解.

[例2]在如图6所示的4×5方格纸中有一个向量[AB]， 分别以图中的格点为起点和终点作向量， 其中与[AB]相等的向量有多少个？ 与[AB]长度相等的共线向量有多少个？ （[AB]除外）

【设计意图】在教师引导下，学生回答.本题考查了向量的概念，培养了学生的直观想象、数学运算的核心素养.

变式探究：如图7，在以1×3方格纸中（设小正方形的边长为1）的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？

【设计意图】本题难度较大，学生讨论之后回答.体现了分类讨论、数形结合的思想，可培养学生直观想象、数学运算的核心素养.

五、课堂小结

1.本节课你学习了哪些新知识？

（1）向量的概念：定义、模、零向量、单位向量.

表示方法. （四个定义，两种表示）

（2）向量的关系：平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量. （三个关系）

2.本节课你体会到了哪些数学思想方法？

（1）数学建模;（2）数形结合;（3）类比;（4）分类讨论.

【设计意图】引导学生从知识和思想方法两方面完成自主小结，训练学生的概括思维能力，锻炼了学生的口头表达能力，实现了语文、数学学科间的整合.

六、课后作业（略）

七、教学反思

1.让数学文化渗透到课堂教学中

在学科教学中要融入学科文化和学科发展史，介绍了向量的三种形式，拓宽了学生的眼界，丰富了课堂内容;选取了在向量发展史上有代表性的三个人物，简单说明了向量的发展史，培养了学生独立思考、勇于创新、执着追求和为科学献身的精神.

2.让数学核心素养在课堂上落地生根

数学学科核心素养既相互独立又相互交融，是一个有机整体.数学核心素养的培养要融入整个课堂，让学生在数学学习的过程中逐步形成.开始的引入，体现了数学抽象、数学建模的核心素养，类比、数形结合、分类讨论等思想贯穿在整个教学过程中，培养了学生逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.只有让数学核心素养在课堂上落地生根，才能让学生学会用数学眼光观察世界，学会用数学思维分析世界，学会用数学语言表达世界.

3.让学科教育承载“立德树人”的育人功能

“人者，德为先”，高中数学课程以学生发展为本，先要落实“立德树人”的根本任务.本节课的引入，教育学生在生活和学习中不仅要努力，还要注意方向，培养学生的目标意识.

（责任编辑 易志毅）