广东省珠海市香洲区广生小学 谢常青

一、前言

小学数学是义务教育阶段的重要组成部分，中英两国的小学生在接受完小学六年义务教育课程后，都需要参加毕业测试。2014 年9月英国实施新课程，并公布了各考试局编撰试题的样题，以期提高学生的识字与算术能力。英国是教育强国，而中国的基础数学教育在世界亦处于领先地位。那么，中英两国的小学六年级的数学毕业测试题难度水平如何呢？以英国最受欢迎的考试局Edexcel 与中国教育强地广东珠海的小学数学毕业测试题为例，运用鲍建生的综合难度模型，从数学认知、背景、运算、推理和知识含量等维度，定量、定性地分析二者数学试题综合难度的差异，有利于深入了解英国初等教育数学考试，期望能对我国小学数学教学实践提供借鉴和启示。

二、综合难度模型说明

英国Edexcel 考试局2017 年的小学数学毕业测试题尚未公布，考虑到考试局组织的考试真题必须以教育部样题为标准进行编写，选用Edexcel 最新的样题《Edexcel International Primary Curriculum Mathematics Year 6 Achievement Test》（下简称《Edexcel 试题》）、2017 年广东珠海市香洲区的小学数学毕业测试题（下简称《珠海试题》）进行综合难度的比较分析。

在试题难度比较的方法上，依据鲍建生的难度综合模型，从试题的数学认知、背景、运算、推理和知识含量五个因素进行水平分析，由此比较试题上的难度特征。

1．题目归类举例说明

在具体试题难度因素归类上，下面举例进行说明。如《Edexcel试题》第1 题：47+26=（ ）。

A.613 B.63 C.73 D.72

学生在求解此问题时只要知道两位数的加法运算法则，就可直接算出正确答案为73。故而，在数学认知上本题属于“识记”；在背景层面上为无背景，直接要求解题；在运算上主要是进行数字的运算，是“数值计算”；在推理因素上不需要学生去推理才能解决，属于“无推理”；在知识含量上是两位数的加法运算法则知识点。以类似这样的标准进行样本各个题目的难度因素划分，即可得到对应的试题难度因素统计表（表1 与表2）。

2．计算说明

在上述构架的基础上，进一步对样本的所有题目进行五个难度因素水平的划分，对所得数据进行试题的综合难度的分析和比较时，利用下面的公式计算每套试题在每个因素上的加权平均值：

下面利用分析整理的Edexcel 数学统计表（表1）说明公式一的计算方法。例如计算“数学认知”因素的取值为：

类似计算这份试题在其他四个难度因素上的加权平均值。

三、试题综合难度情况

表1：中英小数毕业测试题统计表

将表1 进行整理，得到中英两国小学数学毕业测试题的难度因素的加权平均数值统计表（表2）。

表2：中英试题统计表

由此得到这两份试题的综合难度的多边形模型，如图1。

图1 中英试题综合难度模型图

从这个模型中我们可以直观地得到以下三个结论：

1.中国的小学数学毕业测试试题综合难度大于英国。从中英这两组试题的综合难度的多边形模型可知，与珠海相比，英国的小学数学毕业测试题在“知识含量”“推理”“运算”“推理”方面的难度还是相对较低的，两国在“数学认知”水平相当接近，这与两国的小学数学课程标准大同小异相吻合。

2.英国较中国小数试题在五个难度因素上更为均衡，更为接近正五边形。也就是说，在对试题的设置上，英国较中国更为注意平衡“知识含量”“推理”“运算”“数学认知”“背景”这五个难度因素。

3.两国的小学数学毕业测试题都较为强调“推理”这一水平的难度因素，且中国的尤为突出。中国珠海小学数学毕业测试题对学生推理能力的强调，意味着中国的小学生必须面临更高难度的试题，因为他们需要有更强、更充分的思考能力，才能成功正确解题。

下面具体分析两国的小学数学毕业测试题在五个难度因素上的差异：

（一）数学认知

图2 中英在数学认知水平上的比较

从图2 我们可以直观看出，中英两国小考试题在数学认知水平上存在差异，但并不明显。珠海的数学试题更为强调数学认知水平的“识记”与“探究”模块，对学生的要求较高；而英国的数学考试则更重在强调学生对知识的“理解”，重在考察学生是否能根据问题选择相关知识与方法去解决问题，在难度上偏于中等层次。结合前面中英试题综合难度模型图（图1）可知，在数学认知水平上，两国的难度水平相对接近，难度区别度不会呈现过大的情况，但是也各有侧重。

（二）背景

图3 中英在背景水平上的比较

从图3 可以看出，两国的小学数学毕业测试题在背景上的设置较为接近，都是将题目大部分设置于无背景，即直接考查小学生对相关数学知识的运用能力。但英国较中国更多地将试题置于与个人生活的相关背景中，更为强调小学生解决个人生活问题的能力，而中国的试题则更偏向于“公共常识”的数学题。此外，中国较英国相比，还创设了科学情境背景，对学生提出了更高的要求，也使得问题形式更为丰富。

（三）运算

图4 中英在运算水平上的比较

从图4 可以直观看出，中英两国都非常注重对小学生数值计算能力的考查，这也与课标相吻合。两国都有一定的不考查小学生运算能力的题目，此时注重对其他能力的检测。中国珠海的小学数学毕业测试题考查了学生的复杂符号运算能力，这点在英国尚未作要求。这个特点也反映出中国对学生的运算能力要求远比英国的高，即对学生的运算能力要求更为严格，中国的运算难度比英国的要高。

（四）推理

图5 中英在推理水平上的比较

从图5 我们可以直观看出，英国小学数学毕业测试在“推理”水平的三个梯度上，最为重视对学生“无推理”与“简单推理”能力的考查，在“复杂推理”上的要求成分非常低，相比之下，中国的小数毕业考试强调了考生“复杂推理”的能力，并且普遍题目都要求学生经过简单推理得出，而非直接无推理得出。

（五）知识含量

英国Edexcel 小学数学毕业测试题中的大部分题目都只含有“1个知识点”，随着知识点个数的增加，设置的题目呈现递减趋势。中国珠海的小学数学毕业测试题则在“2 个知识点”设置的题目最多，甚至考察到了“三个及以上”的知识点，这说明后者更为注重数学知识本身的关联，难度也更大。中英两国试题在知识含量方面各占的比率直观反映出中国的中考数学题确实比英国的GCSE 数学测试要难。具体图形如下图所示。

图6 中英在知识含量水平上的比较

四、结语

在小学数学毕业测试题目的设置上，英国较中国在“知识含量”“推理”“运算”“数学认知”“背景”这五个难度因素上更为均衡。在综合难度的设置上，珠海难于英国。二者在“数学认知”水平较为接近，其余的“知识含量”“推理”“运算”“推理”四个方面的难度，珠海均高于英国，且在“推理”水平表现尤为突出。这不得不引人深思，中国的小学生面临这样难度的试题是过高了还是适宜的，仍然需要检验。