APP下载

数形结合解数学题

2019-03-23张筱溪

发明与创新·中学生 2019年1期
关键词:中点代数抛物线

张筱溪

数形结合巧妙地将直观的空间图形与抽象的数量关系有机结合,其实质是数与形的相互转换,是数学解题中不可或缺的基本策略。

我在数学解题中重视数形结合思想的应用,优化了解题途径,提高了解题效率。

一、由“数”想“形”,以“形”助“数”

对于某些数学问题,其代数式在变形之后往往有一定的几何意义,如代数中的二元一次方程与几何中直线的截距紧密相联,比值则与两点连线的斜率息息相关。

我在解题过程中,注重思考由“数”想“形”,以“形”助“数” ,常常将代数问题几何化,将抽象问题转化为更加直观的问题,从而快速找到解题的突破口。

例1:若方程x2+2ax+k=0的两个实根在方程x2+2ax+a-4=0的两根之间,试求参数a与k应满足的关系式。

解析:画出x2+2ax+k=0和x2+2ax+a-4=0对应的二次函数y1=x2+2ax+k,y2=x2+2ax+a-4的图象,如图1。

观察该图象可知,这两个函数图象均为开口向上,形状相同,且存在公共对称轴的抛物线。要使方程x2+2ax+k=0的两个实根在方程x2+2ax+a-4=0的两根之间,意味着与其对应的函数图象y1与x轴的交点应在函数y2与x轴的交点之内,相当于抛物线y1的顶点纵坐标应小于或等于零,且大于抛物线y2的顶点纵坐标。

由配方法可知,抛物线y1和y1的顶点分别为P1(-a, -a2+k),P2(-a, -a2+a-4),所以-a2+a-4≤-a2+k≤0,从而求出a与k应满足的关系式为a-4≤k≤0。

二、由“形”化“数”,以“数”解“形”

对于某些几何问题,若直接利用几何方法求解不易入手,我会观察图形,分析已知条件和所求目标的特点,由“形”化“数”,以“数”辅“形”,将题目中的图形用代数式表示出来,使几何问题代数化,从而化难为易。

例2:已知A、B为平面上的两定点,C为平面上位于直线AB同侧的一个动点,分别以AC、BC为边,在ABC外侧作正方形CADF、CBEG,求证:无论C点取在直线AB同侧的任何位置,DE的中点M的位置均不变。

分析:由于D、E随着C的变化而变化,但M为定点,故用几何方法求证难度较大,此时若能转换思维,以“数”解“形”, 以C点坐标为参量,以AB的中點为坐标原点,建立复平面,证得M点坐标不随C点的变化而变化,即可以使问题迎刃而解。

证明:以AB的中点为坐标原点,直线AB为实轴,建立复平面,如图2所示。设A、B、C对应的复数分别为-a,a,x+yi,其中a、x、y∈R,则 =zC-zA=(x+a)+yi, = ,i=-y+(x+a)i= = ,所以 = - =-(a+y)+(a+x)i,D点的坐标为(-y-a,a+x)。同理,可得E点的坐标为(y+a,a-x),根据中点公式,可知DE的中点M的坐标为(0,a),它只与AB的长度有关,与C点位置无关的点,所以,无论C点取在直线AB同侧的任何位置,DE的中点M的位置均不变。

总之,在平时数学解题中,我比较注重灵活渗透数形结合的思想,尽量运用数形结合的方法解题,从而学会从形的直观性和数的严谨性两方面思考和分析问题,使代数问题几何化,几何问题代数化,复杂问题简单化,抽象问题直观化,久而久之不但开拓了解题思路,而且优化了思维品质,提升了数学解题能力。

猜你喜欢

中点代数抛物线
巧求抛物线解析式
例谈圆锥曲线中的中点和对称问题
两个有趣的无穷长代数不等式链
赏析抛物线中的定比分点问题
Hopf代数的二重Ore扩张
什么是代数几何
中点的联想
抛物线变换出来的精彩
玩转抛物线
准PR控制的三电平逆变器及中点平衡策略