陈锦喜

【摘要】  现行初中数学人教版课本中的例题习题都具有实际意义，具有挑战性，开放性，因此积极有效地引导学生学好课本上的例习题，通过剖析数学例题，能使学生将课堂上所学的知识转化为技能、技巧，培養分析问题、解决问题的能力，掌握有效的数学学习方法，提高数学解题能力。本文拟以人教版九年级数学课本的一道例题教学为例，进行解题课的课例分析。

【关键词】  初中数学 教学课例

【中图分类号】  G633.6                      【文献标识码】  A 【文章编号】  1992-7711（2019）02-219-03

一、注重解题课的引用例题的甄选

【教学设计片段1】

教师引入例题：人教版数学九年级上册课本87页例4：已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长。

【分析】

教师在展示例题后向学生提出以下一系列的问题：（1）本题应用了圆的哪些知识点？（2）在圆中计算线段长度过程中遇到有直径问题通常需要使用哪些知识？（3）本题图形中还有哪些特殊的图形？（4）这些图形可以提供什么解题条件？设计这个教学活动旨在使学生会用圆的基本知识点进行简单的计算推理，同时使学生观察图形中的特殊条件，加强几何直观能力的养成。老师应该首先就题目原有的条件背景充分挖掘更多的问题出来，通常来说即需要不断反复问还能求什么，怎么求，让学生形成在解决了一道例题之后还会进一步思考的习惯，真正把一道例题所涉及到的各个知识点随问题串的解决而联系起来。

此例题中已知了2条线段长度，未知线段有4条，例题提问求出其中三条，即BC、AD、BD的长度，教师可以引导学生提出问题，即CD这条线段能求吗？怎么求呢？需要用到其他3条吗？教师引导学生合作讨论，可以通过作垂线将CD分成两条线段分别求出来。具体解答思路过程为：过A作垂线AE，证得△AEC为等腰直角三角形，求得CE=AE=3，再根据勾股定理求得DE=4，即CD=7.本环节通过解决例题中圆的各条未知线段，巩固学生利用圆的有关性质以及等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用知识。有效地激活学生刚学的知识，现代建构主义理论认为：数学学习是学习者利用经验和已有的知识主动建构的过程，考虑到学生已经具备圆的性质和勾股定理等必备的知识，学生有能力参与知识的发生发展的全过程。

【效果】

对课本的例题提出的问题学生能够比较迅速进入演算过程，而且学生的参与率和结果的正确率都比较高，但是对于“额外”提出的问题，学生虽然能积极思考，但是显然得出结论的速度慢，能比较快讲出思路的学生少。

【不足】

问题的提出没有做出适当的铺垫，学生一下难以找到突破口，所以适当给出启发提示，既能解决当前问题，有可以发展解决更多问题的思维。

二、注重启发课本例题多种解教学

课堂教学过程中锻炼学生积极思考的一种有效途径就是一题多解，鼓励学生一题多解可以充分调动学生参与课堂的讨论的积极性，激发学生的学习兴趣，通过营造一个活跃的课堂气氛，一题多解的本质就是通过让学生探究发现解题方法，进而掌握解题的关键，一题多解，有利提高数学的能力与数学思维，随着教育改革的步伐不断的深入，一题多解的模式成为很多教师进入解题课课堂，初中教师可以通过适当的设置一些一题多解的题目，要学生进行自主探讨，然后选择最适合自己掌握，而且简单的方法解题。教师的数学教学应该建立在学生自身的经验，兴趣动机，上，而不是老师，一味的讲，学生一味的模仿，接受某人，要让学生们自己来发现问题，认识问题，探索并有效的解决问题，并为他们提供相互交流的平台，让他们在做中学学生做的过程中不断的成长，让我们教室换一种姿态来与我们的学生交流，用一种全新的授课方式走进我们的数学课堂，让我们的学生真正提到了浓浓的数学味。

【教学设计片段2】

教师在引导学生求出CD的长度过程中一定会有学生提出不同的方法，特别是思维活跃的学生，可能从不同的角度尝试着、探讨着，教师可以启发学生提出更多种方法求CD的长度。以下是学生在老师的点拨下写出的各种解题方法。

学生a的方法（方法2）：过B作CD的垂线，解法类似于上面方法1。

学生b的方法（方法3）：再次变动作垂线的位置，过D作BC的垂线，根据勾股定理来列方程解决。具体过程为：作DF垂直于BC，证得△CDF为等腰直角三角形，设CF=DF=x，BF=8-x，通过Rt△DBF列方程x2+（8-x）2=（5）2求得x的值，进一步求得CD的长度。

在几何图形中根据勾股定理列方程是勾股定理的一个重要的应用方式，通过此题的研究，加深了对此方式的应用认识。

学生c的方法（方法4）：根据角平分线的性质，过D作CA，CB的垂线，将CD转化为一个正方形的一条对角线，使用正方形的性质来解决问题。

学生d的方法（方法5）：在前一章知识《图形的旋转》的基础上，根据特殊图形（等腰直角三角形）可以通过旋转构造线段和差以及新的特殊图形（等腰直角三角形）解决问题。将△DAC绕D点顺时针旋转90°，得到△DBH，同时证明△DCH为等腰直角三角形，CD为其直角边，CH=CB+BH=CB+CA=14，∴CD=7.

【分析】

本课堂的教材内容是比较简单，背景知识比较丰富，学生不难自主选择自己解题的方法，课堂气氛空前高涨，几位同学的思维很敏捷，介绍方法也很有条理，学生学的效果很好，教师以学生的中心展开的教学，学生共同探讨学习内容，建构知识的过程，实际上，数学解题课更应该是开发创造课程的过程，只有这样才能使师生的主体性与生命力的张扬发展成为一个统一的过程中，学生在老师的启发点拨下解答的过程应该是充满着生命活力的，充满着浓厚趣味性和挑战性的。从方法1到方法2，3实际上是“数与式”由单纯的数字计算到方程等式建立的具体到稍微抽象的提升，方法4与方法5对学生的综合能力由较高的要求。进一步还可以对从学生d的方法（方法5）进行一般化的提炼，将条件“CA=6，CB=8”改动为“CA=4，CB=6”再求CD的长度，学生可以求得此时CD=5，然后，将两次条件与所得的结论进行一个对比，即当CA=6，CB=8时CD=7，当CA=4，CB=6时CD=5，让学生猜测CA、CB、CD这三者是否有某种固定关系，试着让学生写出来，并进行证明。那么本题就演变成了证明CA、CB、CD这三条线段之间的关系了，学生可根据方法五的提示通过旋转来证明此结论，即CA+CB=CD。教学过程当中应该倡导学生独立思考，要尊重学生在教学过程当中表现出来的不同的水平，需要对不同的层次问题解决方法进行铺垫设置，教学过程的展开，练习的安排等，都要尽可能的让所有的学生主动参与，提出自己的解决问题的策略，并引导学生在与他人交流当中，选择适合的策略，丰富问题解决的经验，提高思维水平。

【效果】

注重学生在课堂40分钟内有效的锻炼思维的过程，数学学习过程当中，学生的个体差异表现在认识方式和思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异，就是要理解学生，并尊重学生个体差異，满足学生都想上进的要求，尊重学生的个体差异，尽可能满足学生的多样化学习需求，通过一题多解，不同的学生获得不同的启发。

【不足】

数学解题课应该是充满“探究”数学味，对时间、效率的要求很高，有限的课堂时间里，如果教师过于开放，唯恐时间不够用，过于收紧又会“越俎代庖”代替学生思考、书写过程，不能充分展示学生的书写，点拨思维的差异，启示不同方法的优缺。

三、注重精心设置课本例题变式层层递进教学

从课本中的例题习题进行变形变换式引申推广，并通过一些相关的练习，使学生在解题时能够时常变换，举一反三，真正提高解题能力，再次加强对课本例题习题的教学，对减轻学生负担十分有益，在一个题引导学生比较权衡和各种解法法的利弊优劣，选择解决问题的简洁思路，这对拓宽学生的思维有帮助。变式教学是初中数学教学的一种常用教学策略，它有利于学生数学思维品质的培养，有利于学生多角度全方位的理解和应用新的知识和方法;同时，变式教学可以体现新课程的教学理念，减轻学生负担，提高教学质量。“数学素养是人们通过数学教育以及自身的实践和认识活动，所获得的数学基础知识、基本技能、数学思想和观念，以及由此形成的数学思维品质和解决问题能力的总和。数学课程及其教学，不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生理解数学的社会价值，领略数学文化的内涵，体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数学素养得到全面提高。”可见，培养和发展学生的数学思维是新课程理念下的重要目标。变式训练是提高学生的发散思维能力，化归、迁移思维能力和思维灵活性的有效方法之一，不仅能使学生全方位、多层次的的认识问题的本质，而且能使学生亲自参与的实践中去，提高学习兴趣，从而获得问题更深层次的理解，拓展学生的思维能力，为促进学生智力和能力的提高，获得高效课堂的教学效果做好铺垫。

【教学设计片段3】

教师在引导学生发现CA、CB、CD这三条线段之间的关系之后，尝试设置一系列的变式练习，例如把C点看成是动点，那么这三条线段之间的关系是否会发生变化呢？

变式一：已知点C是圆O的一个动点，AB是圆O的直径，D为弧ADB的中点，C在圆上运动且不与A、B、D重合，连接CA、CB、CD，探索CA、CB、CD三条弦的数量关系是什么？

学生在教师的启示下，通过合作讨论，根据C点的运动位置分类讨论，分别有以下三种情况：点C分别在的三段弧上。第一种情况是在前面已经解决，即CA+CB=■CD.第二种情况与第三种情况看起来是类似的，但与第一种情况的结论有区别，如果学生充分理解和掌握第一种情况的证明方法，这种解题思路就可能会“自觉”迁移到这两种情况中。结论为：当C在弧AD上时，三者关系为CB-CA=■CD;当C在弧BD上时，三者关系为CA-CB=■CD.通过这样的变式练习，学生再次熟悉了根据旋转解决问题的几何证明方法，同时又渗透了分类讨论的思想。

变式二、P在圆周上运动时，探究PA，PB，PC之间的数量关系？

变式三、已知：圆O的内接等腰三角形ABC，AB=AC，D是弧AC上一动点，连接BD，做AE⊥BD于E，探究DC，DE，DB三者之间的数量关系？

变式四、（广州中考压轴题），点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在BAD^上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°.

（1）求证：BD是该外接圆的直径。

（2）连结CD，求证：■AC=BC+CD。

（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论。

【分析】

教学过程当中，通过变更概念非本质的特征，改变问题的条件或者结论，转换问题的形式或者内容，有意识有目的地引导学生从变的现象当中发现不变的本质，从不变的本质当中得出变的规律。一个拥有很强的逻辑思维能力的人，能够很快地根据一道题的前因后果，分析出这道题目所描述的内涵，同时它也能够分清楚题目的主次关系。教师可以进行针对性的变式教学，针对课本讲解类型的教学，通过对一个问题的变式来达到解决一类问题的目的，对引导学生主动学习，掌握“四基”，领会数学思想，发展应用意识和创新意识，提高数学素养，积极的形成，情感态度，养成良好的数学学习习惯，提高数学学习的能力，都有具有很重要的，很积极的作用。

【效果】

变式教学可以加强知识的记忆，巩固知识，拓展思维，教学过程中有意识的坚持使用变式教学模式，为学生搭建好进步的阶梯，使教与学达到最大化的效果。但是，变式教学，只是作为数学课的一部分，不可以将变式教学整个课堂完全引用，否则会浪费课堂的时间。

【不足】

教师让学生分组讨论解决办法，让学生自己拓展变式，由于学生的层次不一，尖子生容易适应教学变式，但是基础薄弱的就可能需要更多的时间消化，因变式的题目应该遵循适合性的原则，学生要听得懂，变式教学才有意义。

综上，一节课从课本例题出发，老师根据题目设置一系列脑力和思维锻炼的过程，培养教师和学生的创新能力，教师要鼓励学生从多角度去分析，用不同的方法去解决问题，并且要对比各种方法的优缺点，通过对比使学生掌握各种方法的核心所在，方便以后选取最优的方法去解决问题。同时，要重视对一些重要的方法的总结和推广，有效的渗透重难点知识和方法，使学生逐渐形成由特殊到一般的解题策略。不断的总结经验，这种解题课的教学模式可以高效的运用到初中的教学方法当中去。值得一提的是教师在对学生解题时需要关注不同成绩的学生各方面的情况和特征，从心理和数学思想、方法等角度来准备解题课内容，关注课堂内容是否对基础知识的有效巩固、学生会不会产生定势思维、学生会不会缺乏对解题发散思维的归纳反思。另外数学解题课对老师的要求也比较高，目前教师在课堂上存在对数学解题反思不够，教师对解题的归纳反思可以使课堂教学效率提高，帮助学生形成优秀的学习品质。

[ 参  考  文  献 ]

[1]莫任明初中数学中一题多解的能力培养分析《教育界.上旬》2015年第01期.

[2]张育凤浅谈初中数学课上的变式教学《理科考试研究.初中》2014年第10期.

[3]张娟.浅谈如何深挖例题变式题型，有效提高课堂效率[J].神州·理化空间.

[4]李正军.变式教学在初中数学中的运用研究[J].中学生报（教研周刊）2017年2月17日第282版.

[5]潘世阳.浅谈“一题多变”在初中数学中的应用.百度文库.

[6]冉祥华.浅析初中数学变式教学之“习题变式”.百度文库.

[7]刘艳杰.数学变式训练激活学生思维.百度文库.