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关于阻力作用下小球上抛和下落的讨论

2019-03-18陈雪韩玉龙张静雅王博

考试周刊 2019年26期
关键词:阻力

陈雪 韩玉龙 张静雅 王博

摘 要:竖直上抛和下落是运动学中典型的例子,中学物理易解决不考虑空气阻力运动情况的上抛和下落,本文了讨论小球在运动过程中受到阻力作用下的运动情况。

关键词:牛顿第二运动定律;阻力;上抛

不考虑阻力情况下,小球上抛过程中只在重力作用下运动。小球抛出后,加速度始终为重力加速度g的匀变速运动,可分为上抛时的匀减速运动和下落时的自由落体两个过程。两段过程具有严格的对称性,其中包括速度对称、时间对称和能量对称。

考虑阻力情况下,上述的对称性将被打破,本文讨论了质量为m的小球以初速度v0当从地面上竖直上抛,受到阻力情况下,小球落回地面的速度发生的变化。小球竖直上抛时,受力分析如图1所示,图中v为小球运动速度,h为小球上抛的最大高度。考虑如下两种情况。

图1 受力分析

一、 阻力大小为αmv2(黏滞系数α为常数,v为小球速度)

小球竖直向上抛出,受到重力和阻力作用,以地面为坐标原点,竖直向上为y轴正方向,由牛顿第二运动定律可得受力方程为

-mg-αmv2=mdvdt(1)

进行微元变换可得-mg-αmv2=mvdvdy,即

dy=mvdv-mg-αmv2(2)

对上述微分方程等式两边同时积分∫h0dy=∫0v0mvdv-mg-αmv2,可得小球落到地面的距离h为

h=12αlnmg+αmv20mg(3)

下落过程,重力方向依然竖直向下,而阻力方向向上,受力方程为

-mg+αmv2=mdvdt(4)

类似的可以获得下降过程的高度h表达式,其中v1为小球落到地面时的速度

h=12αlnmgmg-αmv21(5)

小球从地面上抛出,上升高度和下落高度相等,因此(3)和(5)式應一样,可得小球落到地面时速度满足

v1=v0gαv20+g(6)

二、 阻力大小为αmv(黏滞系数α为常数,v为小球速度)

受力分析过程不变,但是阻力表达式发生变化,可得上抛和下落过程的受力方程分别为

-mg-αmv=mdvdt(7)

-mg+αmv=mdvdt(8)

对上述方程做同样的处理,得到微dy的表达式后对等式两边同时积分,可以给出上抛最大高度和下落到地面高度所满足的表达式如式(10)和(11)所示

h=v0α+gα2lngg+αv0(10)

h=-v1α+gα2lng+αv1g(11)

由上抛和下落到地面的距离相等,可知h=v0α+gα2lngg+αv0=-v1α+gα2lng+αv1g,虽然此等式难以获得小球下落到地面时速度v1的解析表达式,但是可以确定的是等式中只有未知量v1,只要给出初速度、黏滞系数等值,即可以获得v1的结果。

参考文献:

[1]《力学词典》编辑部.力学词典[M].北京:中国大百科全书出版社,1990:118,161,277.

作者简介:

陈雪,安徽省六安市,安徽省皖西中学;

韩玉龙,张静雅,王博,安徽省芜湖市,安徽信息工程学院。

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