刘 琦，叶淼林

（安庆师范大学数学与计算科学学院，安徽安庆246133）

对于一个整数k≥0，图G的k闭包是指反复连接G中度之和不小于k的不相邻的顶点对直到没有这样的顶点对为止所得的图，记为，它是唯一的，并图中任意两个不相邻的点对u和v均满足

引理1[8-9]一个n阶图G是哈密尔顿-连通图，当且仅当也是哈密尔顿-连通图。

引理2[10]设G是一个n阶图，则。由引理2可直接得到推论1。

引理3[7]设G是一个n(≥5)阶连通图，最小度δ(G)≥2。若，则G是哈密尔顿-连通图，除非

下面给出本文的主要结论及证明。

证明 设H=Cn+1(G)。如果H=Kn，则H是哈密尔顿-连通图，由引理1知G也是哈密尔顿-连通图，这样结论成立。假设H≠Kn，且H不是哈密尔顿-连通图，则由引理1知G也不是哈密尔顿-连通图。注意到H中任意两不相邻的两点u,v均满足则Hc中任意边uv均满足由引理 2

(5.1)若Gc是由Hc添加一条边构成的图，则或

(5.2)若Gc是由Hc添加两条或两条以上的边构成的图，则由推论1知Gc只可能是由添加边构成的图，且不为其子图。

(5.2.1)若Gc是由Hc添加两条边构成的图，则或

(5.2.2)若Gc是由Hc添加3条或3条以上的边构成的图，则由(5.2.1)推论1知Gc只可能是由或添加边构成的图，且有，矛盾。

(7)若 H=K4∨(K1,3+K2)，则 Hc=4K1+((K1+K3)∨ 2K1)，且，e(Hc)=11，由 引 理 2得，则 有 110=n(2n-9)≥这样Hc=Gc,即G=H=K4∨(K1,3+K2)，或Hc是Gc的真生成子图，即Gc是由Hc添加边构成的图。

(7.1)若Gc是由Hc添加一条边构成的图，则Gc是2K1+K2+((K1+K3)∨2K1)或3K1+(((K1+K3)∨ 2K1)⋅P2)或4K1+((K3⋅P2)∨ 2K1)或4K1+((K1+K3)∨ K2)。

若 Gc是 2K1+K2+((K1+K3)∨ 2K1)，则，由引理2得，则有，由推论1知，此时

若Gc是，则，由引理2得矛盾。

(7.2)若Gc是由Hc添加两条或两条以上的边构成的图。由推论1与(7.1)知，此时n(2n-9)，矛盾。

(8.1)若Gc是由Hc添加一条边构成的图，则Gc是或或K1+或

若 Gc=2K1+(P3+K5), 则，由 引 理 2得，此时由推论 1知 G=K2∨(K1+K2)∨5K1=5K1∨ (K1+K2)∨ K2。

若 Gc=2K1+(K2+(K5⋅P2))，则，由引理2得，矛盾。

(8.2)若Gc是由Hc添加两条或两条以上的边构成的图，则由推论1与(8.1)知，Gc只可能是由K1+(2K2+K5)添加边构成的图，且2K1+(P3+K5)，2K1+(K2+(K5⋅P2))与3K1+(K5⋅P3)不为其子图，矛盾。

(9)若 H=K4∨4K1,则 Hc=4K1+K4,且，由 引 理 2得，则，这样Hc=Gc,即G=H=K4∨4K1或Hc是Gc的真生成子图，即Gc是由Hc添加边构成的图。

(9.1)若Gc是由Hc添加一条边构成的图，则Gc=2K1+(K2+K4)或Gc=3K1+(K4⋅P2)。

若 Gc=2K1+(K2+K4)，则，这 样 由 引 理 2得，此时G=K2∨ K2,4。

若 Gc=3K1+(K4⋅P2) ， 则， 由 引 理 2 得，矛盾。

(9.2)若Gc是由Hc添加两条边构成的图，则推论1与(9.1)知，Gc只能是由2K1+(K2+K4)添加边构成的图，且3K1+(K4⋅P2)不为其子图，则Gc为2K2+K4或K1+(P3+K4)。

若Gc=K1+(P3+K4)，则，由引理2得，矛盾。

(9.3)若Gc是由Hc添加3条边或3条以上边构成的图，则由推论1与(9.2)知，矛盾。

(10)若H=K3∨(K1+K1,3)，则Hc=3K1+(K4⋅P2)，且，由引理2得，则，矛盾。

(11)若H=K3∨ (K1,2+K2)，则Hc=3K1+((K1+K2)∨ 2K1)，且，由引理2得，则，这样Gc=Hc，即，或Hc是Gc的真生成子图，即Gc是由Hc添加边构成的图。若Gc是由Hc添加边构成的图，则由推论1知矛盾。

(12)若H=K2∨ K2,4，则Hc=2K1+(K2+K4),且，这样由引理 2得，则，这样，或Hc是Gc的真生成子图，即Gc是由Hc添加边构成的图。

(12.1)若Gc是由Hc添加一条边构成的图，则，或，或

若 Gc=2K2+K4，则，由引理 2得则由推论1知此时G=K2,2∨4K1。

若 Gc=K1+(P3+K4)，则，由引理2得56=n(2n-9)≥，矛盾。

若 Gc=K1+(K2+(K4⋅P2))，则，由引理2得56=，矛盾。

若Gc=2K1+(P3⋅K4)，则，由引理2得56=n(2n-9)≥，矛盾。

(12.2)若Gc是由Hc添加两条或两条以上边构成的图。由推论1与(12.1)知矛盾。

由上述讨论得出定理1结论成立。