方成鸿

（景德镇陶瓷大学信息工程学院，江西 景德镇333403）

0 引 言

平面微分方程定性理论中，研究系统闭轨线尤其是极限环的存在性与稳定性具有重要的理论价值与实际意义．平面二次多项式系统的研究结果较丰富，文献[1]有论述，对于三次系统，由于参数的增多，研究难度显著增加．对于如下系统：

文献[2]讨论了δ=a1=a2=a3=0时系统的全局结构．利用变换将系统化为Liénard方程或广义Liénard方程，文献[3]在a1=a3=a6=0的条件下，文献[4]在a1=a2=0的条件下，文献[5]在a6=0、a1=a+b及a4=-ab的条件下分析了系统极限环的存在性与唯一性．

文献[6]给出了系统x·=-y（1-ax）+a1x+a2x2+a3x3、=-x（1-ax）存在极限环的条件；文献[7]讨论了系统=-y+δx+mx3-ny3、=x（1+ax2）当 a＞0、n＞4 时极限环存在的条件，并给出m与δ为正数时的全局结构图；文献[8]给出了系统=-y+（a-3b）x2y+y3、=x+x3+（a+3b）xy2的全局结构图．文献[9-11]结合旋转向量场理论分析了相应平面系统的极限环存在唯一的条件．

研究平面系统存在的极限环个数是另一项重要的内容，如文献[12-14]使用Melnikov函数法分析可积的多项式系统在多项式扰动下中心分支出极限环的个数以及同宿环的分支问题．

文中考虑如下形式的系统：

它以曲线1+ax2+by2=0为垂直等倾线，通过对奇点、无穷远奇点、鞍点分界线走向的讨论，获得了系统的全局结构相图．文献[2]包含d=0时的结论，这里不妨取 d=1，否则可作适当的变换达到．

1 奇点的性态

方程（1）的右端所定义的平面向量场关于y轴对称，故中心型奇点都是中心．

定理1 ①系统（1）的奇点 O（0，0）是中心；②b＜0 时，系统（1）有奇点与 B2（0，其中B1是鞍点．若b＜-1或b=-1且a＜0，B2为鞍点；若-1＜b＜0，B2为中心；若 b=-1 且 a＞0，B2的局部由一个双曲扇形域和一个椭圆扇形域构成；……