陈爱云, 薛 琼*, 陈欢欢, 肖小峰

(1. 武汉理工大学 理学院, 湖北 武汉 430070; 2. 武汉纺织大学 机械工程与自动化学院, 湖北 武汉 430073)

1 引言及主要结果

设M是n维完备非紧具有非负Ricci曲率的黎曼流形,若

则M具有大体积增长.这里vol[B(p,r)]表示M上以点p为中心r为半径的开球的体积,wn表示Rn空间中单位球的体积.

若

则M具有小体积增长.

αr2≥vol[B(p,r)]≥βr2,

∀r>0, 0<α<2β,

则M是可缩的.

注1该定理是仅有的既非大体积增长又非小体积增长的拓扑有限结果,因此提出了次大体积增长的概念.

随后,Zhan等[2]进一步研究这类流形的拓扑有限结果.在引入结果之前,先给出一些记号.令

其中

本文主要研究n维完备非紧具有非负Ricci曲率的黎曼流形,满足∀p∈M,∀r>R,

是单调减函数,

(1)

(2)

其中R是一个固定的常数.

2006年,文献[2]中的定理1.2证明了这类流形在截曲率有负下界的条件下,只要满足

则M具有有限拓扑型.2008年,文献[3]中的定理5.11将体积增长的条件作了改进,得到了

为了得到更强的结果,本文的研究丰富了此方面的理论.主要结果如下.

(3)

其中,Rp为所有从p点出发的射线集合,则M微分同胚于Rn.

(4)

其中R是给定的大的常数,则M微分同胚于Rn.

2 准备工作

对∀p,q∈M,p、q的Excess函数定义为

epq(x)=d(p,x)+d(q,x)-d(p,q),

(5)

其中d(p,q)表示从p到q的距离.

Abresch等[5]得到了一个Excess估计,给出了一个上界.后来,Shen[6]把这个定理推广到第k个Ricci曲率的情形.

(6)

其中,h=d(x,γ),s=min(d(p,x),d(q,x)).

记Σ为p点处切空间TpM上单位球面SpM的一个闭子集,令

BΣ(p,r)={x∈B(p,r)|γ是一条从p到x的

对任意0

Σp(r)={v∈SpM|γ(t)=expp(tv):

[0,r)→M是一条极小测地线}.

注意

Σp(r2)⊂Σp(r1), 0

(7)

于是有如下引理.

引理2设M是n维完备非紧具有非负Ricci曲率的黎曼流形,且满足(1)和(2)式,则

∀r>R0>R, (8)

这里R0是一常数.

证明注意到

(9)

根据文献[7]中的引理2.4可得

vol[BΣp(r)Σp(∞)(p,r)]≤

(10)

由(7)式知

(11)

将(10)式代入(9)式中,当r→∞时,由文献[8]中的引理2.3以及(11)式知

结合文献[9]中的引理2.4的证明方法证明下面引理.

引理3设M是n维完备非紧具有非负Ricci曲率的黎曼流形,且满足(1)和(2)式,则对∀x∈∂B(p,r)和足够大的r,有

[r+d(x,Rp)].

(12)

证明令h=d(x,Rp),且h≤r,

B(x,h)∪BΣp(∞)(p,r+h)⊂B(p,r+h). (13)

通过(1)及(13)式可得∀r>R,

vol[B(x,h)]+vol[BΣp(∞)(p,r+h)]≤

vol[B(p,r+h)]≤

(14)

这里由于In(r)是单调递减的,所以有

In(h)hn-1βM≤In(∞)vol[B(x,h)].

(15)

结合引理2以及(14)和(15)式,当r足够大时,就有

In(h)hn-1βM≤

因此

故

3 主要定理的证明

定理1的证明因为Critp≥r0,所以B(p,r0)内没有异于p点的临界点.对∀x∈MB(p,r0),满足r=d(p,x)≥r0,要证明流形M微分同胚于Rn,只需要证明点x不是d(p,x)的临界点即可.

的解,并取定理1中的

(17)

因为r≥r0,对∀m∈Rp,使得d(x,m)=d(x,Rp),令s=d(x,m),由(3)和(17)式知

(18)

设γ:[0,+∞)→M是从p点出发经过m点的射线,由三角形不等式可知,对任意t≥2r,有

min(d(p,x),d(x,γ(t))=r,

因此m∈γ((0,2r)),有d(x,γ|[0,2r])=s.再由引理1以及(17)和(18)式知

(19)

(20)

由三角不等式、(5)和(19)式可知

(21)

将(21)式代入(20)式,结合(16)式,得到

因此,点x不是d(p,x)的临界点,故M微分同胚于Rn.

结合定理1可证明定理2.

定理2的证明取定理2中的

(23)

这里的ε为定理1中的ε.

事实上,固定r≥r0,x∈∂B(p,r),由于d(x,Rp)≤r,结合引理3、(4)和(23)式,可知

h≡d(x,Rp)≤

故

(24)

(1+4hr-1)n-1≤1+2hr-1(3n-1-1).

(26)

根据(15)和(25)～(26)式可得

In(h)hn-1βM≤In(∞)vol[B(x,h)]≤

vol[B(p,r)]-vol[BΣp(∞)(p,r)]≤

(28)

因此,由(27)和(28)式知

故根据定理1知定理2结论成立.

注4定理2改进了文献[8,11]中次体积增长的指数,同样得到更强的M微分同胚于Rn,推广了文献[8,11]的结论.