■天津市新华中学 于 川

一、一道高考数学题带来的警示

这是2014 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷）的第二题，此题正确答案为B。当年的考后问卷调查及师生反馈相关数据显示：高考中，选B的考生仅三分之一，超半数考生选了A。在随后几年高考中，此类型题多次出现，虽然得分率有所提升，但始终不能令人满意。作为考卷第二题，按理说很基础，为什么大部分考生会选A呢？选A的考生思路如下：将三个不等式变为三个方程，两两一组求交点，得到三个交点分别为（2，0）、（1，1）、（3，1），再分别代入目标函数，得到的最小值是2。

考查结果反映出大多数考生在学习线性规划知识时不理解知识的意义，解题机械，不求甚解。这也提醒教师，落实知识要“讲理”，教会学生如何“推理”。优秀的考生除了具备扎实的基本功，还要具备对知识的领悟能力、迁移能力，夯实基础知识与提升数学能力刻不容缓。

二、正确理解夯实基础与提升能力的含义

有些教师可能会质疑：高三复习做的工作就是在抓基础、提能力，为什么还会出现较大失误呢？主要是因为对夯实基础与提升能力存在一定曲解。数学基础知识是指数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及所反映出来的数学基本思想方法；数学基本技能主要是指能够按照一定的程序与步骤进行运算、作图或画图、进行简单的推理。历年《普通高等学校招生全国统一考试大纲》《普通高等学校招生全国统一考试天津卷说明（文史类）》对知识的要求依次是“了解”“理解”“掌握”，考纲中所用动词多是“会用”“能够”“会解”“掌握”等“硬性指标”，背、默、重复的前提一定要理解，理解基础上的记忆才最深刻。对考查知识的要求也有具体表述，如“能用有关知识解决相应的应用”“理解函数的单调性”“理解性质定理，并能够证明”等，“理解”一词经常出现。“理解”意味着“有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学知识内容对有关问题进行比较、判断、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力”，可见其层次较高。处理问题时需要将数学知识与数学思想方法有机结合，要求学生能在数学语言、数学符号、数学图形间转换，具备运用分类讨论思想、化归思想、数形结合思想、函数思想、方程思想综合分析与解决问题的能力。

三、提高高三复习课的实效性

夯实基础知识、提升数学能力的关键在于培养数学思维品质，使学生通过经历“数学化”的过程，提升数学素养。数学具有很强的抽象性、逻辑性和概括性，其特点和思维能力的强弱决定了教学质量及学习质量的高低。在高三复习课中，把学生从题海、机械模仿中解放出来，直接切入问题本质——提升学生的数学思维品质，通过不断改进课堂教学手段与方式，提高复习课的实效性。

一般高三数学复习课可大体分成两个阶段：复习基础知识，形成知识体系；讲练典型题，巩固所学知识与数学思想方法。如果能加上第三个阶段——反馈矫正，对于学生夯实基础、形成整体思维会很有益处，具体步骤为：出示错解、班内交流、一题多解、一题多变。

1.自学阶段，出示错解。

疑是思之源，思是智之本。出示错解可以激发学生的兴趣，使其发挥教育主体的主观能动性，实现由表象感知向理性认识的飞跃。经过一段时间或一个阶段的复习，教师可收集典型错题在课前发给学生，让他们思考：这些题解法是否正确？如果有错，错在什么地方？产生错误的原因是什么？如何改正？有无其他解法？能否一题多变、类比推广？前四个问题是帮助学生落实“双基”，后两个问题是促进学生思维转化，提升数学能力。让我们从以下例题错解出发，作具体讲解。

2.质疑阶段，班内交流。

在课前准备的基础上，每个学生都带着思考进入课堂，但由于每个人情况不同，对概念理解层次及数学方法会有一定局限性。通过课内交流鼓励学生充分展示思维过程，让他们了解改变思维的方向、策略以及缩小探索范围，教师可引导学生动手、动口、动脑，认真审题，深刻理解命题条件、结论实质及相互关系，让学生积极思考，避免以后出现类似错误。结合例二，学生课前可先解决以下问题：

（1）该例题解法是否正确？

不正确。

（2）如果有错，错在什么地方？

（3）错误的原因是什么？

尽管知道用韦达定理，但是对数学语言与数学符号之间转化的等价性（充要条件）理解不深刻。

（4）如何改正？

学生通过对以上四个问题的解答，加强了对基础知识、基本技能的训练，对基础知识的理解更加深刻，消除了思维定式的影响，灵活地由一种思路转向另一种思路。

3.指导阶段，一题多解。

提升学生的数学思维品质要注意培养思维的广阔性，这一阶段主要是培养学生思考的自觉性，鼓励他们勇于创新、敢于突破，大胆提出新颖见解和解题方法。经过思考，学生可以发现利用求根公式、二次函数图象也能解开以上例题。训练一题多解可打破思维定式，构建知识网络，引导学生运用不同数学思想方法解决同一个问题，使思维灵动起来，体会学习数学的乐趣。

4.训练阶段，一题多变。

中学阶段学习数学，学生以间接经验为主，需在教师的引导下提升数学能力、养成数学品质，应将学习看成是创造性劳动，从中不断体验获得成功的喜悦。因此，应该鼓励学生自己发现问题、提出问题、研究问题，树立问题意识。如，鼓励学生从例二出发，自己给自己出题：

学生对自己出题、解题乐此不疲，有些题目解不出来，大家还会利用数形结合思想、方程思想究其原因，在解决问题的过程中，将触角伸展到数学知识的多个领域，在知识的相互碰撞中不断擦出智慧火花，数学思维品质的养成与数学能力的提升就是在“数学化”的过程中一步步实现的。

有的教师认为高三复习时间紧、任务重，舍不得拿出时间进行思维训练，宁可将时间花在大量重复做题上。对比复习课的两种教学方式，哪一种更具有实效性可能存在争议，但是教师应将目光放长远，以培养学生的数学学科素养为己任进行负责任的教学，这才是符合认知规律的教学，才是能够取得较好教学效果的教学，才是符合高等院校选拔人才标准的教学。