浙江省金华市第六中学 (321000) 虞 懿

在竞赛数学中，经常会遇到复合最值问题．所谓复合最值问题，即最大值与最小值相互嵌入求解的问题，具体地讲也就是在最大值中求最小值或最小值中求最大值的问题．这类问题比较抽象，难度较大，颇受竞赛命题者的青睐．本文采撷几道竞赛中出现过的复合最值问题并予以深度解析，旨在探索题型规律，归纳求解策略．

策略1．分类讨论

复合最值问题一般包含内外两个层次, 当内层关系看不清楚又不宜直接入手时, 进行分类讨论是一种行之有效的办法．

例1 (2016年四川竞赛题)已知函数f(x)=x2-2tx+t，当x∈[-1,1]时，记f(x)的最小值为m，则m的最大值是( ).

评注：某些复合最值问题，采用分类讨论各个击破，可将复杂问题简单化．

策略2．数形结合

数形结合是一种重要的数学方法，在处理基本函数的复合最值问题时有广泛的应用，可分别作出几个基本函数的图像，由图像直接求出函数的最值．

例2 (2007年浙江竞赛题)设f(x)={2x+4,x2+1,5-3x}，则maxf(x)=( ).

A．1B．2C．3D．4

策略3．巧用算术平均数

n个实数的算术平均数不大于这n个实数中的最大者，也不小于这n个实数中的最小者．利用这一简单事实可使某些复合最值问题得到简解．

例3 (华罗庚金杯赛题)已知a,b,c,d是正数，且满足a+b+c+d=4．用M表示a+b+c,b+c+d,c+d+a,d+a+b中的最大值，求M的最小值．

解析：很明显一组数的平均值不会大于这组数中的最大值，因此M=max{a+b+c,b+c+d,c+d+a,d+a+b}≥

评注：本题初看，不容易入手，a,b,c,d就不知道，那四个正数的和更不知道哪个大哪个小了，还要求最大者的最小值，那就更难了．这么多变化中我们要能找到不变--四个和中最大者必然不小于它们的平均数，这点一想清楚，本题也就迎刃而解了．

策略4．巧用几何平均数

n个正数的几何平均数不大于这n个正数中的最大者，也不小于这n个正数中的最小者．利用这一简单事实可使某些复合最值问题得到简解．

评注：对于涉及多变量的复合最值问题，找出内层最值与几何平均数的不等关系，借助均值不等式进行转化，是处理这类问题的常见办法．

策略5．猜想证明

对于一些特殊情形，可以首先根据问题的极端情况猜想出所求的最值，然后用反证法证明之．

策略6．设而不求

设而不求是数学中常用技巧．在解“复合最值”问题时，可将“内层最值”设出(不求)，建立相关式子，再求外层最值．

评注：把内层最值设出来，并不求出，如何利用已知条件寻找其满足的不等关系是正确解题的关键．

策略7．放缩法

对于一类带有绝对值的问题，可以通过三角形不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|放缩得到．

例7 (2006年上海市高中数学竞赛题)设a,b∈R，不等式max{|a+b|,|a-b|,|2006-b|}≥c恒成立，则常数c的最大值是．

解析：设A=max{|a+b|,|a-b|,|2006-b|}，则A≥|a+b|,A≥|a-b|,A≥|2006-b|，故4A≥|a+b|+|a-b|+2|2006-b|≥|(a+b)+(b-a)+2(2006-b)|=4012，得A≥1003，当a=0,b=1003时等号成立，因此c的最大值为1003．

评注：构造了含“4A”的不等式是为了能利用三角形不等式放缩后凑得一个常数，这里的系数可以借用待定系数法得到．

策略8．构造法

例8 已知实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=1，求minmax{a,b,c}的值．

评注：对于有限制条件的三元复合最值问题，如果其中的两个量可以用另外一个量表述成韦达定理形式，可以考虑构造二次方程，利用判别式解决此类问题．

例9 试求M=max{|1+a+b|,|4+2a+b|,|9+3a+b|}的最小值．

评注：注意到三个式子1+a+b,4+2a+b,9+3a+b的特点，可构造二次函数f(x)=x2+ax+b进行转化．

例10 (2006年陕西省高中数学竞赛题)设x>1,y>1,A=min{logx2,log2y,logy8x2}，则A的最大值为．

评注：本题的关键在于发现等量关系logx2·(log2y·logy8x2-3)=2，从而构造关于A的三次不等式A(A2-3)≤2，通过解不等式得到A的最大值．

结语：求解复合最值问题的策略是多元的．如何选择合理的求解策略，需要有敏锐的观察能力，更需要心中有“法”．因此归纳一类问题的解题策略对学生入门和初步掌握解决该类问题是有帮助的．教学中教师需要引导学生“发现一类问题，归纳一类问题，提出一些策略”，解决学生入门难的问题，切实帮助学生减轻学习的负担．