范志轩

摘 要：构图法在数学领域具有极为重要的作用和影响，通过构图法的应用不仅能够让数学题目解答变得直观形象，而且能够让我们在题目理解基础上实现数学知识的深化理解。本文将就构图法在证明不等式中的应用进行重点阐释，会重点体现构图法使题目解答更加高效、正确率更高的效果。

关键词：构图法 不等式证明 应用路径

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2019）01-0-01

一、构图法发展历史

构图法，也就是所谓的建立几何图形，是应用几何图形来帮助解释不等式的应用原理。部分数学家认为构图法的应用证明不严谨，不具备太大的应用价值。但还有数学家认为，数学虽然是逻辑的，但也是图形的。数学教育家波利亚指出利用画图的方法可以促进对问题的理解，这种观念已经被广大数学教育工作者引为经典。爱因斯坦和庞加莱也都认为，我们应当学会利用我们的直觉。美国数学家加德纳也提出，在很多情形下，一个看似平淡无奇的证明在几何图形的辅助下，会让证明更加简单和完美，定理推理的正确性也会得到显现。

二、构图法在不等式证明中的重要作用

用构图法来帮助证明在数学应用中是较为广泛的，很多概念、定理的证明中都有它的身影。构图法作为一种解题技巧，要想做到正确高效地使用也不是非常容易的，我们要坚持的是虽然数学的试题类型是千变万化的，但是万变不离其宗，对数学基本原理的应用是根本的，一成不变的。这就需要学生在日常的学习过程中多总结联系，不断的活跃思维，准确的理解题意，建立起几何图形，从而为准确地解题提供帮助。这其中最关键要做到题意和图形的合理结合。

三、例谈构图法在证明不等式中的应用

1.构造两点间的距离

例题1：假设我们知道a、b、c都是正数，那么求证不等式

对于不等式的证明可以通过构图法的应用来进行解答，通过两点间的距离的构造来实现不等式的证明。这时候可以联想到两点间距离公式，所需要证明的不等式则可以被看作两线段之和不小于第三条线段。

证明：假设点A坐标为（a+c，0）那么点B的坐标则为（0，b+d），点C的坐标则为（c，b）

通过，我们可以得出，不等式

当且仅当等号在A、B、C三点共线时候，也就是时才会成立。

2.构造平行线的距离

例题2：假设a、b、x、yR，并且a+2b+4=0，x+2y+1=0，求证：（a+x）2+（b+y）2≥5

对于此不等式的证明，我们可以通过直线斜率构造的方式来达到更好的证明效果。

解答：对于所要证明的不等式，可以将其左边视为两点（a，b）与（-x，-y）间距离，已知条件说明点（a，b）在直线：上，点在直线：上，并且

因为

所以

3.构造三角形

例题3：已知x，y，z都是正数，求证：

题中表达的意思与“三角形两边之和大于第三边”的意思相似，而被开方数可以理解成余弦定理的结果，然后进行构图（如图1），

解答：做射线OA、OB、OC，使，通过线段，将AB、BC、AC连接起来，则可以得出△ABC，那么，，，因此，在△ABC中，可以得出相应结论，即：AB+AC>BC

4.构造正方形

例题4：已知，现求证：

通过该题目我们可以了解所需要证明的式子中、、、可以分别看成为a和b、b和c、a和c为两直角边的斜边长，这么我们就可以将进行联想，联想成为a+b+c为边长的正方形的对角线长，这样证明思路也就呼之欲出了。

解答：進行图形构造（如图2），依照图形知，，，，由AB+BC+CD>AD，得不等式成立。

5.构造直线斜率

例题5：已知，并且求证：

在证明此题目时，需要注意到所证明的式子中有，可以用k来对其进行表示，它表示过点P（-1，-4）的直线方程的斜率（如图3）。

解答：令

那么

又，且表示右半圆，

当直线过点（0，2）时，则；

当直线与半圆相切时，原点到它的距离则为2，那么

所以

结语

通过这些例题的分析研究，我们可以了解到，构图法在证明不等式中具有重要作用和影响，是我们证明不等式过程中所可以应用的重要证明方式。不得不提的是上文只展示了构图法应用的一小部分，我们还需要探索更多的构图方法，让其不仅在不等式证明，在其他知识点解答过程中也能发挥重要的作用。

参考文献

[1]薛娇.基于深度学习的高中数学命题教学设计研究[D].江苏师范大学，2018.

[2]戴怡萱.高中生解决不等式证明问题的调查研究[D].华东师范大学，2018.

[3]楚可悦.高中数学不等式应用与学习策略分析[J].中国校外教育，2018（05）：108.