刘嘉钰,张万舟

(太原理工大学 物理与光电工程学院,山西 太原 030024)

0 引言

微观粒子分为费米子和玻色子。通过交换两个玻色子或者费米子之间的位置,系统的波函数会产生一个相位因子eiθ,对于玻色子θ=0,对于费米子θ=π。在低维系统中,粒子会具有其他类型的量子统计性质,任意子便是其中之一,它是一种具有统计性质介于玻色子和费米子之间的粒子,θ取值介于0和π之间。由于它新颖的性质,从20世纪80年代[1],任意子已经吸引了很多物理学家的关注,并成为在凝聚态物理领域包括分数量子霍尔效应[2],拓扑量子计算[3]领域中的一个非常重要的概念。

实验上,人们已经提出了一些在自旋系统[4]、玻色系统[5]和冷原子[6]系统中寻找任意子的方案。2011年,Keilmann等人提出了实现一维光晶格中的任意子的方案即拉曼辅助跃迁方法[7],该方法对任意子的交换统计进行人工操控。最近,Greschner等人又提出了更完善更简单的实验方案[8]来实现任意子哈伯德模型。这些模型只在低密度区域有效或者需要强加入三体硬核的限制,使每个格点的最大占据数为2。即使没有这种三体限制[9],人们也提出通过调制相互作用[10]来实现任意子哈伯德模型。

人们在任意子系统中,发现很多有意思的量子相,包括动量分布非对称的超流相,以及配对超流相。我们将在任意子哈伯德模型中加入排斥相互作用来研究任意子超固体相存在的可能性及其特征。之前的工作发现了很多不同类型的超固体如配对超固体相[11],f-波超固体相[12],分子超固体[13]和三聚体超固体[14],这些超固体都是普通的玻色超固体或费米子超固体,而任意子系统中超固体可以通过改变相位角来进行调控,具有更丰富的相图。

1 任意子哈密顿模型与方法

拓展的任意子哈伯德模型可以表示为:

(1)

(2)

(3)

我们可以进一步用Ψ1A,Ψ1B,Ψ2A,Ψ2B来标记两套不同子晶格A,B上的超流序参量。两套不同子晶格A,B上的哈密顿量分别为

(4)

(5)

其中z为晶格的配位数,对于一维晶格z=2.通过自洽求解,可以得到系统在基态下的各个序参量的取值。为了简便,用Ψ=|Ψ1A+Ψ2A|/2来标记平均超流序参量。令A,B两套子晶格上粒子数密度分别为ρA=和ρB=,则固体序可以用粒子数密度差Δρ=|ρA-ρB|/2来标记,平均粒子数密度用ρ=|ρA+ρB|/2来标记。显然当ΨΔρ≠0时,系统为超固体相。表1给出了不同量子相下的各种序参量取值。

表1 典型量子相所对应的序参量的取值

我们也运用了密度矩阵重整化群[15-16]的方法给出存在超固体的结论,边界条件是自由边界条件,保持状态数在400～600之间,swept扫描次数为2～6次。动量分布[17]定义为

(6)

结构因子[18]定义为

(7)

2 数值分析与讨论

2.1 经典极限和平均场结果

图1给出了(μ/V,U/V)平面内的经典极限相图,此时V设置为1,表示μ/V,U/V为无量纲参数。当两套子晶格上的粒子数密度均为0时即ρA=ρB=0,此时系统处于空相。在U/V<0时,系统存在3个相,分别是空相、固体相(0,3)和绝缘体相MI(ρ=3)。在02时,系统出现ρ=1和ρ=2的绝缘体相。这个相图可以帮助我们了解在哪些参数区间,增加t/V,可以将固体转化为超固体,或者超流。

Fig.1 Classical limit (t/V=0) phase diagram图1 经典极限t/V=0相图

图2(a)给出密度分布的总体相图,可以看出,密度颜色从左到右逐渐变深,表示密度从0到3。θ对相边界有影响,特别是在两套子晶格密度差最大的参数区间,比如密度为(0,3)固体相周围,即在μ/V=3.5和μ/V=6附近,相边界出现明显的弯曲现象。表明改变θ对超固体的产生、消失和周期性的变化可能有影响。

Fig.2 (a)Global phase diagram of density’s distribution ρ(μ/U,θ/π) (b) the detailed description along the direction of μ/V,U/V=1,t/V=0.1图2 (a)密度分布ρ(μ/U,θ/π)的总体相图(b)沿着μ/V方向的细节图,U/V=1,t/V=0.1

图2(b)中相位角θ固定为0,扫描化学势μ,得到了系统密度平台[16]的分布。随着化学势μ/V的增加,平台分别为空相密度排布为(0,1),(0,2),(0,3)(1,3)(2,3)固体相和绝缘体相,在一些密度为非整数并且光滑增加的区间,系统可能是超流相或者是有待验证的超固体相,比如μ/V在,1.5,3.5,6.5,8～10附近。

Fig.3 (a) Global phase diagram of supersolid (could be denoted by ΨΔρ)(b) the detailed description(Δρ,Ψ and ) along the direction of μ/V,U/V=1,t/V=0.1图3 (a)超固体(可用ΨΔρ标记)分布的总体相图(b)沿着μ/V扫描的细节图(Δρ,Ψ和 ),U/V=1,t/V=0.1

图3(a)给出的是超固体(可用ΨΔρ标记),在平面(θ/π,μ/V)中分布的总体相图,在化学势为1.5,3.5,6.5附近具有超固体,但是超固体的分布会随着θ变化,而产生、消失或周期性变化。图3(b)中相位角θ固定为0,扫描了固体序参量Δρ,超流序参量Ψ和配对超流序参量,发现μ/V在1.5,3.5,6.5附近序参量Δρ和Ψ同时不为0的超固体。我们同时发现在Ψ不等于0的区域,也不为0,说明我们发现的超固体也属于配对超流[9]和超固体。

2.2 密度矩阵重整化群方法结果

为了验证平均场方法发现的超固体相是否真实存在,我们还用密度矩阵重整化群方法进行了检验,原因是密度矩阵重整化群方法是精确的方法,它不像平均场那样忽略了量子涨落。我们首先确定的是θ=0的超固体相是否存在,先根据化学势和密度的关系来计算密度随着化学势变化的图。对于尺寸L(8,16,24和48)的系统,将粒子数取值为从0到3L之间,计算出每一个密度填充下对应的基态能量E,然后我们计算出每一个密度所对应的两个化学势[15]μ+和μ-,这里我们先定义μ+=E(N+1)-E(N),即表示在粒子数填充为N的系统中添加一个粒子,系统能量的变化量。另外一个化学势是μ-=E(N)-E(N-1),表示在粒子数填充为N的系统中,减少一个粒子或增加一个空穴系统能量的变化。对于空相、超流相来说在热力学极限下μ+和μ-是相等的。在固体相、密度波或绝缘体相下μ+和μ-不相等,也就是一个密度平台对应的两个边界,比如密度为0.5,1,或1.5的平台左右边界的化学势。

Fig.4 Density-matrix-renormalization-group method simulation of the one dimensional extended anyon-Hubbard model,the detailed description along the direction of μ/V,U/V=1,t/V=0.1,L=8,16,24 and 48 respectively图4 密度矩阵重整化群方法计算一维光晶格上的任意子哈伯德模型,沿着μ/V方向扫描得到的密度细节图,U/V=1,t/V=0.1,L分别为8,16,24和48

通过对比图2(b)和图4可以发现,平均场方法和密度矩阵重整化群方法计算得到的密度平台分布一致,但平台两端位置所对应的化学势略有差别,因为平均场方法忽略了量子涨落同时具有尺寸效应。

Fig.5 Density-matrix-renormalization-group method simulation of the one dimensional extendedanyon-hubbard model (a) The momentum distribution and (b) the structural factor,t/U=0.1,L=48图5 密度矩阵重整化群方法计算一维光晶格上的任意子哈伯德模型(a)动量分布(b)结构因子t/U=0.1,L=48

图5给出了利用密度矩阵重整化群方法计算得到的一维光晶格上任意子哈伯德模型的动量分布和结构因子,此时t/U=0.1,尺寸L=48。在图5(a)中,动量分布在密度为0.5～3的此参数区间是有尖峰的,说明系统此时有超流序。在图5(b)中,密度为0.5～2.5的此参数区间是有尖峰的,说明在此参数区间是有固体序的。综合图5的结果,系统在密度为0.5～2.5此参数区间存在超固体的(除密度1,1.5分别为绝缘体和固体相之外),和平均场方法得到超固体区间是一致的。由于图5给出的动量分布和结构因子是一个尺寸的,为了检验超固体的稳定性也就是在热力学极限下是否真的存在,我们计算了不同尺寸和不同密度(图中从上至下密度依次为1.25,1.21,1.16,1.11,1,0.75和0.5)下的结构因子并对其进行分析。结果发现这些结构因子在热力学极限下也就是L无穷大,仍然是不等于0。

from top to bottom,densities are 1.25,1.21,1.16,1.11,1,0.75 and 0.5 respectivelyFig.6 Structural factor calculated by density-matrix-renormalization-group with different densities图中从上至下密度依次为1.25,1.21,1.16,1.11,1,0.75和0.5图6 密度矩阵重整化群方法计算不同密度的结构因子

3 结论

本文首先运用平均场理论研究了一维光晶格上的扩展任意子哈伯德模型,给出了改变任意子系统的相位因子和化学势时超固体在参数空间的分布。然后运用密度矩阵重整化群方法,给出了结构因子和动量分布都有尖峰的参数区间,即超固体的存在范围。我们还对结构因子进行了有限尺寸标度,发现在热力学极限下超固体相仍然存在。我们的密度矩阵重整化群方法只是验证了θ=0时的参数,后续工作我们将利用密度矩阵重整化群方法计算θ≠0时的超固体是否真实存在,以及其他有意义的物理问题。