张 虎

（南京财经大学应用数学学院，江苏南京210023）

股票抵押贷款估值是金融领域的一个热点问题，一直受到金融市场参与者和学术界研究者的关注. 股票抵押贷款[1]是指客户，也就是借款人，以自己拥有的股票作为抵押品向银行（贷款人）借钱.在抵押贷款到期之前，客户可以选择偿还借款金额和利息取回股票，或者不还贷款金额及利息同时放弃对股票的所有权.这种类型的金融产品不仅可以给那些迫切需要资金但不愿完全失去股票所有权的投资者提供很大的方便；同时也可以为股票持有者提供对冲金融市场低迷风险的机会. 例如，当股票价格上涨时，借款人可以选择通过偿还银行的贷款金额和贷款利息来收回他的股票. 但当股价下跌时，借款人可以选择放弃抵押品，以避免股票贬值的损失.股票抵押贷款可以帮助拥有大量股权的高净值投资者实现很多目标.

股票抵押贷款估值研究由Xia 和Zhou[1]首先提出，他们在Black-Scholes 模型下解决了股票抵押贷款的定价问题. Liu 和Xu[2]研究了带有上限的股票抵押贷款.Liang等[3]研究了带有自动终止条款、上限和保证金的股票抵押贷款. Dai 和Xu[4]分析了四种不同股利分配情况下的股票抵押贷款，并使用二叉树方法计算了股票抵押贷款的价格.Wong等[5]利用渐近展开方法推导出具有随机波动和最优行使边界的股票抵押贷款的解析定价公式. Pascucci[6]等对股票抵押贷款定价问题的偏微分方程模型进行了数学分析和数值方法. Cai 和Sun[7]研究了具有跳跃风险的股票抵押贷款估值.这些关于股票抵押贷款估值的研究都是在概率论的框架下进行的，只有当概率分布足够接近真实频率时，才能使用概率论. 但大量调查表明，在金融实践中，人的信念程度往往影响投资者的判断和决策. 例如，Kahneman 和Tversky[8]发现投资者经常将概率的非线性变换作为他们决策的基础. 在现实复杂的金融市场中，因为认知和资源的局限性，许多投资者通常根据专家的建议或他们的知识构建他们对一些金融事件的信仰程度，并以此作为决策的基础，而不是使用非常大的数据库来推断参数估计或概率. 毫无疑问，投资者的信念程度在真实的金融市场中扮演着重要的角色.

为了合理处理信仰程度，Liu[9-12]提出了一种处理信念程度的公理数学——不确定性理论.此后不确定微分方程的研究受到了许多学者的关注.Liu[10]引入了不确定微分方程稳定性的概念，Chen 和Liu[13]首先证明了线性增长条件和Lipschitz连续条件下不确定微分方程解的存在唯一性定理. Yao 等[14]给出了不确定微分方程的一些稳定性定理.更重要的是Yao和Chen[15]提出了数值求解不确定微分方程的Yao-Chen 公式，建立了不确定微分方程与常微分方程之间的关系.Yao在[16]在Yao-Chen公式的基础上，提出了不确定微分方程解的极值、首达时间和时间积分的计算公式.

不确定微分方程在不确定环境中具有重要意义，特别是在金融环境中. 经典金融理论假定股票价格、利率和汇率遵循随机微分方程.2013年，Liu[17]将不确定微分方程引入金融领域，提出了不确定股票模型，推导出欧式期权定价公式.基于Liu的不确定股票模型，Chen[18]、Zhang和Liu[19]、Sun和Chen[20]、Zhang等[21]分别推导出美式期权、亚式期权的定价公式.Peng和Yao[22]将Liu的不确定股票模型分别扩展为均值回归不确定股票模.不确定微分方程也被广泛应用于最优控制(Zhu[23])、微分博弈(Yang 和Gao[24])等领域. Zhang[25]基于不确定性理论，首先研究了不确定金融市场中股票抵押贷款的估值问题，推导出Liu 的不确定股票模型和具有周期性股利的不确定股票模型的股票抵押贷款定价公式.

基于以上不确定理论基础，本文对股票抵押贷款的估值问题进行分析研究，以期帮助借贷双方更好地了解股票抵押贷款价值函数与贷款金额、贷款利率、固定上限、固定上限增长率之间的关系，在其中一个参数发生变化时，借贷双方能作出更合理的决策.

1 预备知识

定义1.1[9]令L 为非空集合，Γ 为定义在L 上的σ-代数，不确定测度是一个函数M：L →[0,1].

公理1（正则性公理） 对于全集有M{ }Γ =1.

公理2（对偶性公理） 对于任何的事件Λ，有M{Λ } +M{Λc} =1.

公理3（次可加性公理） 对于任意的可列事件

公理4[11]（乘积公理） 设(Γk,Lk,Mk)(k=1,2…)是不确定空间，乘积不确定测度M 是乘积σ- 代数L1×L2×… 上的不确定测度，满足其中Λk∈Lk,k=1,2….

定义1.2[9]不确定变量是一个从不确定空间(Γ,L,M)到实数集合的一个可测函数，{ξ ∈B} 是任意的Borel集B上的一个事件.

定义1.3[9]对于任意实数x，不确定变量ξ的不确定分布为Φ(x)=M {ξ ≤x}.

定义1.4[12]对于x，如果不确定分布Φ(x)是连续并且严格单调增加，则Φ(x)是规则的，其中0 ＜Φ(x)＜1(x)=0,(x)=1.

定义1.5[12]设ξ 是规则不确定分布Φ(x)的一个不确定变量，则逆函数Φ-1(α)被称为ξ 的逆不确定分布.

定义1.6[9]设ξ是一个不确定变量，则ξ的期望值为E[ξ]=M {ξ ≤x}dx-M {ξ ≤x}dx，式中两个积分至少有一个存在.

定理1.1[12]设ξ是规则不确定分布的一个不确定变量，则E[ξ]=(α)dα

定 理1.2[12]设ξ1,ξ2,…,ξn是 不 确 定 分 布Φ1,Φ2,…,Φn的独立不确定变量. 如果f(x1,x2,…,xn)关于x1,x2,…,xm是严格单调增加的，关于xm+1,xm+2,…,xn是严格单调减少的，则不确定变量ξ=f(ξ1,ξ2,…,ξn)有逆不确定分布，且对应的逆不确定分布满足Ψ-1(α)=f((α),…,(α),(1-α),…,(1-α) ).

定义1.7[10]设(Γ,L,M)是一个不确定空间，T 是一个全序集（例如：时间），不确定过程Xt(γ)是从T×(Γ,L,M)映射到实数集合一个函数，即对于任何Borel 集B，集合{Xt∈B} ={t ∈T |Xt∈B}是一个事件.

定义1.8[11]如果不确定过程Ct满足如下条件：

（1）C0=0 且几乎所有样本路径都是Lipschitz连续的.

（2）Ct有平稳的独立增量.

（3）Cs+t-Cs是期望为0、方差为t2的正态不确定变量.则称不确定过程Ct为Liu过程.Liu过程Ct的不确定分布为，对应的逆不确定分布为

定义1.9[15]设α 是一个数，并且满足0 ＜α ＜1. 如 果是 微 分 方 程=f(t,)dt+|g(t,(α)dt 的解，其中Φ-1(α)为逆的标准正态不确定分布且则称为不确定微分方程dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt的α轨道.

定 理1.3[15]令Xt和分 别 为dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt的 解 和α 轨 道，则M {Xt≤,∀t}=α，M {Xt＞,∀t}=1-α.

定理1.4[16]设Xt是不确定微分方程dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt的解，是不确定微分方程dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt的α 轨道，则对应的Xt的 逆 不 确 定 分 布(α)=对 于 任 意 的S ＞0和严格增函数J(X)J(Xt),有逆不确定分布(α)=J(Xtα).

定理1.5[16]设Xt是不确定微分方程dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt的解，是不确定微分方程dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt的α 轨道. 对任意的非单调函数

定理1.6[16]令Xt和分别为dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt的解和α 轨道，则对任意的s ＞0 的严格增函数J(X)，上确界J(Xt)对应的逆分布为下确界对应的逆分布为

2 标准的股票抵押贷款

与传统的经典随机金融理论不同，Liu 于2009年提出了不确定微分方程描述的股票过程，并提出了如下不确定股票模型：

其中X是债券价格，S是股票价格，r是无风险利率，μ是对数漂移，σ是对数扩散.Ct是Liu过程.

由式(2.1)可知，股票的价格为St=S0exp(μt+σCt)，那么其对应的逆不确定分布为

股票抵押贷款的描述如下：借款人以一份股票作为抵押从银行获得金额K，在向银行支付服务费用c 后，借款人获得的金额为K-c，借款人有权在贷款到期日T之前的某个时间通过向银行偿还贷款本金和贷款利息Kexp(γt)（γ 为贷款利息），其中γ ＞r（贷款利率大于无风险利率），这意味着借款人支付金额为S0-(K-c)购买了一份具有时变执行价格为Kexp(γt)和到期日为T的美式期权.借款人偿付的现值为exp(-rt)[St-Kexp(γt)]+.因此股票抵押贷款的价值应该是预期的支付的现值.

定义2.1假设股票抵押贷款的贷款额为K，贷款利率为γ，贷款到期日为T，令f为股票抵押贷款的价值函数，那么标准的股票抵押贷款的价值函数表达式为

定理2.1假设股票抵押贷款的贷款额为K，贷款利率为γ. 贷款到期日为T，则标准股票抵押贷款的价值为

证明：不确定微分方程为dSt=μStdt+σStCt的α 轨 道 为=S0exp( μt+σΦ-1(α)t )，其 中Φ-1(α)为逆的标准正态不确定分布. 因为J(x)=exp(-rt)[x-Kexp(γt)]+是一个增函数，由定理1.6知，算式

有一个逆不确定分布：

因此，股票抵押贷款的价值为

例2.1：假设股票价格模型（2.1）中的对数漂移μ=0.05，对数扩散为σ=0.15，无风险利率r=0.05，初始股价S0=20，贷款金额K=16，贷款利率为γ=0.08，日期为T=1，通过定理2.1 股票抵押价值函数表达式可以计算得到股票抵押贷款的价值f=4.2932. 由于价款人在0 时刻支付为S0-(Kc)，标准股票抵押贷款的价值满足f=S0-(K-c)，则可算得此时的服务费用c=0.2932.

通过数值实验可分析一些参数对标准的股票抵押贷款的影响（图2.1、图2.2）. 实验中，当研究f 与其中一个参数之间的关系时，其他参数保持不变.从图2.1 可知，随着贷款金额的增加，股票抵押贷款的价值函数减少，价值函数减少速率越来越慢，最后价值函数f 趋于零. 图2.2 则说明，随着贷款利率的增加，股票抵押贷款的价值函数f减少.

3 带有固定上限的股票抵押贷款

假设一个具有上限的股票抵押贷款有常数上限L，贷款金额K，贷款利率为γ，到期日为T，那么借款人支付的现值为exp(-rt)[StΛLKexp(γt)]+. 因此，带有上限股票抵押贷款的价值应该是偿付的预期现值.

定义3.1假设一个具有上限的股票抵押贷款有常数上限L，贷款金额K.贷款利率γ和到期日T，令f为股票抵押贷款的价格，则带上限的股票抵押贷款的价值为

图2 .1 标准股票抵押贷款价格f的值与贷款金额K的关系

图2 .2 标准股票抵押贷款价格f与贷款利率γ之间的关系

定理3.1假如不确定股票模型下带上限的股票抵押贷款的上限为L，贷款金额为K，为贷款利率γ和到期日T，则带上限的股票抵押贷款的价值函数表达式为：

因为股票抵押贷款的上限L为常数，由定理1.6可得

根据Yao-Chen 公式，可以得到股票价格St的α-路径=S0exp( μt+σΦ-1(α)t )，其中Φ-1(α)为逆的标准正态不确定分布，自此验证了带有固定上限的股票抵押贷款的价值函数.

例3.1：股票抵押贷款中的参数为对数漂移μ=0.05，对数扩散为σ=0.15，无风险利率r=0.05，初始股价S0=20，贷款金额K=16，固定上限L=25，贷款利率为γ=0.08，日期为T=1，通过定理3.1 计算公式可以算得股票抵押贷款的价值f=4.1542.

由于借款人在0时刻支付为S0-(K-c)，标准股票抵押贷款的价值满足f=S0-(K-c)，则此时的服务费用c=0.1542.

通过数值实验以研究一些参数对带有固定上限的股票抵押贷款价值函数的影响（图3.1、图3.2）.实验中，当研究f与其中一个参数之间的关系，其他参数不变. 图3.1 显示，随着贷款金额的增加，股票抵押贷款的价值函数减少，直到价值函数为零. 从经济学角度来看，因为当实际的股票抵押贷款金额大于股票的初始价格时，此时的风险极大，银行是没有动力借钱给借款人的. 图3.2 表明，随着上限L的增加，股票抵押抵款的价值函数也在逐渐增加，但是价值函数增加的速率越来越慢直到价值函数稳定不变. 从经济学角度来看，由于带有固定上限的股票抵押贷款合同是在股价和固定上限之间取较小的那个，当上限远大于股价时候，此时股价决定价值函数.

图3 .1 带有固定上限的股票抵押贷款价格f与款金额K的关系

图3 .2 带有固定上限的股票抵押贷款价格f与固定上限L之间的关系

4 带有固定增长率上限的股票抵押贷款

具有恒定增长率的上限实际上是具有恒定的增长率θ ＞0的一个时变的上限，其中Lt=Lexp(θt)，假设带上限的股票抵押贷款有固定增长率上限Lt，贷款金额为K，贷款利率γ 和到期日T，借款人偿付的现值为

因此，带有固定增长率上限的股票抵押贷款的价值应该是偿付的预期现值.

定义4.1假设带有固定增长率上限的股票抵押贷款具有固定增长率的上限Lexp(θt)，贷款金额为K，为贷款利率γ和到期日T，令f为带有固定增长率上限的股票抵押贷款的价值函数，则带有固定增长率上限的股票抵押贷款的价值函数表达式为

定理4.1假如不确定股票模型下带上限的股票抵押贷款的上限为L，贷款金额为K，为贷款利率γ和到期日T，则带有固定增长率上限的股票抵押贷款的价值函数表达式为

证明：根据定义4.1可得

因为股票抵押贷款的上限为Lexp(θt)(θ ＞0)，由定理1.6 可得带上限的股票抵押贷款的价值函数表达式为f=xp(-rt)[ΛLexp(βt)-Kexp(γt)]+dα.根据Yao-Chen公式，此时股票价格St的α-路径满足等式=S0exp( μt+σΦ-1(α)t )，其中Φ-1(α)为逆的标准正态不确定分布，自此验证了带有固定增长率上限的股票抵押贷款.

例4.1：股票抵押贷款中的参数为对数漂移μ=0.05，对数扩散为σ=0.15，无风险利率r=0.05，初始股价S0=20，贷款金额K=16，固定上限L=25，贷款利率为γ=0.08，上限固定增长率θ=0.05，日期为T=1，通过定理3.1 计算公式可以算得股票抵押贷款的价值f=4.1543.由于价款人在0 时刻支付为S0-(K-c)，标准股票抵押贷款的价值满足f=S0-(K-c)，则此时的服务费用.c=0.1543.

同样通过数值实验可分析一些参数对带有固定增长率上限的股票抵押贷款的影响（图4.1、图4.2），实验中，当研究f与其中一个参数之间的关系时，其他参数保持不变. 图4.1 显示，随着上限增长率θ 的增加，股票抵押抵款的价值函数f也逐渐增加，价值函数f 增加的速率越来越慢直到趋于稳定的值. 图4.2 表明，随着上限L 的增加，股票抵押贷款的价值函数f也在逐渐增加，但是价值函数f增加的速率越来越慢直到趋于稳定的值.

图4 .1 带有固定增长率上限的股票抵押贷款价格f与固定增长率θ之间的关系

图4 .2 带有固定增长率上限的股票抵押贷款价格f与固定上限L之间的关系

5 总结

从价值函数与各参数关系图可以看出，贷款金额的增加会导致股票抵押贷款价值函数减少，当贷款金额超过一定的值后，此时股票抵押贷款的价值函数为零. 从经济学角度看，此时意味着由于贷款风险极高，银行没有动力签订这款抵押贷款合同.当贷款利率增加时候会导致股票抵押贷款价值函数的减少，从经济学角度看，此时贷款利率增加意味着借款人的借款成本增加，此时借款人的借款动力也会降低，股票抵押贷款价值函数也会随之降低. 固定上限的增加会导致股票抵押贷款的价值函数的增加，与此同时，上限增长率的增加也会导致股票抵押贷款的价值函数的增加，此处可以看出固定上限的增加或者上限增长率的增加达到的效果是一样的，但是上限的增加或者固定上限增长率的增加到了一定的程度后，股票抵押贷款的价值函数趋于稳定.当上限远大于股价时，而此时的价值函数表达式中是在上限和股价两者中取较小的那个，所以此时股票抵押贷款的价值函数不是取决于上限或者上限的增长率，而是取决于此时的股价.