☉内江师范学院数学与信息科学学院 刘成龙

☉内江师范学院数学与信息科学学院 胡 丹

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程.有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者.”［1］习题讲评是重要的教学活动，但在以往的讲评中主要以教师的讲解为主，学生参与缺失、师生交流缺失、信息流向单一——仅由教师流向学生，是典型的高耗低效课堂.怎样才能让习题讲评课更加有效呢？研究者认为最有效的方式是让信息的流动由单向走向多元，实现这一目标必须打破讲—听这一单一的师生活动，让师生、生生互动起来，这需构建指向师生交互的习题讲评教学活动.为此，文中展示指向师生交互的习题讲评教学活动.

一、基于交互学习活动的相关理论

建构主义理论强调，学习是通过某种社会文化的参与内化相关的知识和技能、掌握相关工具的过程，这一过程常常需要通过一个学习共同体的合作互动来完成.［2］学习共同体是由学习者及助学者（包括教师、专家、辅导者等）共同构成的团体，他们经常在学习的过程中进行沟通交流，分享各种学习资源，共同完成一定的学习任务，因而在成员间形成了相互影响、相互促进的人际关系，形成一定的规范和文化.［3］交互的习题讲评教学构建了师生学习共同体.其中，学生是学习者，教师既是助学者也是学习者，通过沟通交流、形成共识，使共同体内的成员包括教师都得到不同的发展.

建构主义理论认为，每个人都以自己的经验为背景建构对事物的理解，因而不同的人只能理解事物的不同方面，不存在对事物唯一正确的理解.合作学习和交互教学可以使学生超越自己的认识，看到那些与自己不同的理解，从而形成更加丰富和全面的理解.建构主义者很重视相互作用对学生的影响，主张教师与学生、学生与学生之间进行丰富而多向的交流、讨论.［2］交互的习题讲评教学遵循交流，力求通过师生、生生间不同理解的碰撞，引导学生丰富或调整自己的理解.

罗杰斯认为传统教学模式中主体是教师，客体是学生，知识信息的交流是单向的，缺乏交流双方的情感互动性、参与性和双向反馈，学校实行强制管理，师生关系不平等，缺乏民主和信任感，学生经常处于怀疑和惧怕状态中.在较少的威胁（心理压力）教育情境下才会有效学习，主动的、全身心投入学习才会产生良好效果.［2］交互的习题讲评教学强调构建民主、和谐的师生关系，将时间、空间、提问权、话语权和评议权还给学生，促进师生间、生生间的相互理解，发展学生的合作意识和合作能力.

学习金字塔理论表明：不同的学习方式得到的学习效果区别很大，位于塔尖的是学生单凭阅读或听老师讲授，效果最差（保持10%）；位于塔基的是学生动手参与和给别人讲授，效果最好（保持90%）.可见，积极主动、合作交流是最为有效的学习方式.［1］交互的习题讲评教学将传统单一讲的教学方式变革为多元互动、共同作用的助学、互学的学习模式，极大地扩张了信息的流通渠道，增加了有效信息的吸收.正如班杜拉所坚持的多因素相互作用共同决定行为一样，交互的习题讲评教学在共同体成员充分的行为参与、情感参与下变得十分有效.

二、交互学习的讲评活动实录

1.问题

习题：若a、b为实数，求a2+b2+ab-a-2b（下文记为※）的最小值.

设计意图：问题是数学的心脏、问题是研究的心脏、问题是教学的心脏.按建构主义的观点，教学的开始，应该给学生一些问题、两难选择或提问，以激发学生的好奇心，引发他们的理解活动.好的问题能激发学生问题解决的热情，能触发学生灵动的思维，能引发师生交互的教学行为.文中所呈现的问题叙述简洁，内涵丰富，蕴含丰富的数学思想方法（比如，函数思想、方程思想、整体思想等）、解答视角宽阔，具有一定的深度、广度和关联度.同时，学生在解答该问题时容易产生不同的“答案”，而这些不同的“答案”正是引起“争论”的根源，也是推动交互活动的本源.总之，该问题既以学生现实水平为基础，又落于学生的最近发展区内，符合可接受性原则，是一道宜于师生进行交互讲评活动的试题.

2.讲评活动实录及设计意图

（1）成果展示——诱发冲突.

师：请同学们展示解答结果.

生1：-1.

生4：0.

…………

（学生相互张望，小声议论）

设计意图：动机是引起和维持个体活动，并使活动趋向一定的目标，以满足某种需要的一种内部心理动力.个体的一切有意识的活动都是由动机引起的.［2］布鲁纳认为，在未经学生自己探索尝试而将答案告诉学生的教学方式，易导致学生一知半解，或因知之不详而迅速遗忘.教师未将问题的答案直接告诉学生，而是让学生展示不同的解答结果，引起学生认知冲突，充分调动学生的好奇心和好胜心，其目的是激发学习动机.

（2）针锋相对——思维碰撞.

师：出现了4种不同的答案，能说说你们的做法吗？

（学生在黑板上板书各自的解答）

师：听起来很有道理，其他做法呢？（教师不急于点评）

生6：※=（b-1）2+a2-a+ab-1.当b=1时，（b-1）2+a2-a+ab-1≥a2-1.当a=0时，a2-1取得最小值-1.故※的最小值为-1.

师：新的答案出现了.还有其他答案吗？

生7：※=a2+a（b-1）+b2-2b=+（b-1）2-1.令b=1，a=0，则※的最小值为-1.

师：还有吗？

生8：我的答案是0.要使得整个式子最小，就要保证式子中每一项最小，故a=b=0，得原式的最小值是0.

师：生8又给出了不同答案0.

…………

设计意图：“从错误中学习”是当前提倡的一种重要学习策略.它体现了教学方式的深刻变革，是现代教学观下的一种教育机智.［4］桑代克的“联结—试误”学习强调“做中学”，允许学生犯错，并鼓励学生从错误中学习.［2］“做”的过程即为试误的过程、师生交互的过程：教师让学生展示他们“做”的过程，其目的是在展示过程中充分暴露学生思维的方式及思维中存在的错误，以便在师生、生生思维碰撞中纠正错误、加深对问题的理解，进而优化思维方式，形成良好的思维品质.错误是交互教学中的生成性资源.

（3）互评互助——达成共识.

师：请大家评价以上做法.

生10：我觉得生5做的不对.

师：错在哪里呢？

生10：当a+b=0时，-（a+b）-ab-b不一定取得最小值.

师：能说的更具体一点吗？

生11：※中含有两个变量a、b，※的最小值，即整体的最小值，而（a+b）2仅仅是整体的一部分，这部分取最小值时，-（a+b）-ab-b不一定取得最小值.

师：说得很好，找到了错误的关键——只关注局部，忽视整体，给点掌声.

生11：我认为生6、7的做法也是错的，错误原因与生5一样.

师：说得很好.我想知道，都是配方，生5得到的结果与生6、生7为什么会不一样呢？

生12：“取等条件”不同.

师：具体说说.

师：很好，认识很到位.可见取等条件对求最小值来说很重要.不难看出生8也犯了相同的错误.生9的做法呢？

生13：生9与前几个都不一样，他先用平方非负的性质将平方项化成了交叉项，再运用取等条件a=b消去b，最后运用配方求得最小值.

师：这样做对吗？

生14：不对.犯了前几个同学的错误——用局部代替整体.

师：听懂了吗？

生：（齐）听懂了.

设计意图：布鲁姆将人的认知分为：认识、领会、运用、分析、综合和评价六个层次.其中，评价是认知的最高层次.［2］斯塔弗尔比姆指出：“评价最重要的意图不是为了证明，而是为了改进.”互评是交互教学的重要环节，意在在互评中达成共识，促进学生认知新高度的形成.教师意在通过学生互评、互助、互纠的方式，让学生讲出错误的原因——局部代替整体，这对加深学生对所犯错误的认识、理解，以及对形成正确策略和逻辑辨证思维有益.

（4）师生共建——教学相长.

师：生5、6、7均犯了用局部代替整体的错误，但提供了一个解题的方向——配方，配方的目的是什么呢？

生15：减少未知数的个数.

师：能否结合大家刚刚的做法，谈谈是如何减元的呢？

师：说得很好，抓住了配方的实质——减元，大家想想：为什么通过配方就能减元呢？

生17：上述解答中都将平方项替换为了0来减少变元，比如：等.

师：为什么用0来替换平方项，而不是其他数呢？

生18：因为平方项非负，即m2≥0.

师：非常好，可以看出平方项非负是减元的重要工具.生6使用了平方项非负，但（b-1）2=0、a2=0时，※未必取得最小值，这是为什么呢？

生19：因为（b-1）2+a2-a+ab-1中平方项外的-a+ab-1未必取得最小值.

师：你真棒，要是平方项外的部分不含有变量，能否取到最小呢？

生：（齐）能.

师：结合生7的做法，正确的配方应配成哪种形式呢？

生20：需要配成“（ ）2+（ ）2+常数”这种形式.

师：很好，在这种形式下，什么时候取得最小值呢？

生21：平方项同时为0即可取最小值.

师：对，请大家再次尝试运用配方法解答习题.

…………

师：说说你的思路.

师：不错，还可以怎么配方呢？

师：很好，大家听清楚了吗？

生：（齐）听清楚了.

师：配方的目的是减元，还有其他的减元思路吗？

大家陷入思考之中……

师：习题中的问题是求最小值，初中时求最值有哪些办法呢？

生23：利用将军饮马模型.

师：将军饮马模型一般用来处理线段和（差）的最值问题，※能化成线段和的结构吗？

生23：不太容易.

生24：利用函数增减性可以求最值.

师：说说看.

生24：一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.

师：很好，※能看成一次函数吗？

生24：不能.是二次的形式.

师：能看成二次函数吗？

生25：可以.记y=a2+（b-1）a+（b2-2b），y是关于a的二次函数.

师：如何求最小值呢？

生25：y=a2+（b-1）a+（b2-2b）在对称轴处取得最小值.，即※=a2+，显然，当b=1时，-1≥-1，可求得a=0.于是当a=0，b=1时，※取得最小值-1.

师：非常精彩.

（顿时响起阵阵掌声）

生26：还可以这样做：记y=b2+（a-2）b+a2-a，y是关于b的二次函数，在对称轴处取得最小值.※=b2+，显然，当a=0时，，可求得b=1.于是当a=0，b=1时，※取得最小值-1.

师：很好，懂得变通.生26、27从函数视角减元得到了两种优美解，简洁、明了.

生27：我还有不同的方法.函数和方程有紧密的联系，因此，我是从方程角度来处理的.

师：说说看.

生27：令y=a2+b2+ab-a-2b，移项得a2+b2+ab-a-2b-y=0.将b、y看成常数，可以化为关于a的一元二次方程a2+（b-1）a+（b2-2b-y）=0（记为#）.关于a的方程有根，则Δ=（b-1）2-4（b2-2b-y）≥0，则.当b=1时，※取得最小值-1.

师：从方程视角给出了解答.这种方法我之前都没有想到，你很了不起.

（大家一起为生27鼓掌）

师：真可谓众人拾柴火焰高，至此从配方、函数和方程的视角得到了问题的解.

设计意图：教学相长是一种和谐、完美的教学活动.交互的习题讲评教学所构建的师生学习共同体的最终目的是在和谐、民主的氛围下追求共同体成员得到不同的发展.本环节意在通过教师启发来激发处于愤悱状态的学生的潜能，让学生在不断预设的追问中修正、完善，使认知达到新的高度，从而迸发创造的火花.反过来，通过学生生成的“奇思妙解”促使教师深度思考，最终在应对“意外”中“成长”.

（5）回顾反思——提升素养.

师：我们回过头来审视整个解题活动.生21、生22的配方中具有怎样的特点呢？请从字母的地位进行比较.

生28：生21的配方中a很重要，b感觉没那么重要.生22刚好相反.

师：在数学中重要的变量常常称为主元，不太重要的称为次元.比如，生21的配方中将a视为主元、b视为次元，先处理主元a，再解决次元b.生22的处理过程刚好相反.类似地，请审视生25、生26的做法.

生29：生25、26的做法实质上与生21、22是一样的，也是分别将a、b视为主元.

师：生27的做法呢？

生30：同样运用了主元法.

师：嗯，不难看出，主元是贯穿配方法、函数法和方程法的一条主线.大家想想，贯穿三种视角的另一条主线是什么呢？

生：（齐）减元.

师：不错，减元贯穿始终.减元和主元之间是什么关系呢？

生：（齐）减元是思路，主元是具体的方法.

师：对，减元是指导思想，主元是具体的行动，思想指导行动.

至此，习题得到了圆满的解决.

设计意图：反思即元认知，是人们以自己的认知活动过程及结果为认识对象的认识活动.弗赖登塔尔曾提出：“反思是重要的数学活动.它是数学活动的核心和动力，是一种积极的思维活动和探索行为，是发现、是再创造.”本环节中，在教师引导下，让学生体会方法间的联系、感悟蕴含在各种方法背后的思想，以此积累数学活动经验，提升数学素养.

三、关于师生交互的习题讲评教学思考

班杜拉认为人的行为是内部因素和外部因素相互作用的产物，坚持多因素相互作用共同决定行为的观点.因此，学生的学习是相互作用的过程.师与生、生与生之间的互动质量对学习质量有十分明显的影响.通过互动，不但可以促进学习者的意义构建，而且可以促进师生之间、生生之间的相互理解，发展学生的合作意识和合作能力，改善师生关系、同学关系.［2］鉴于此，教师以一道习题为载体呈现了“与众不同”的讲评教学活动.下面从教学活动方式、过程、效果等方面做一些说明.

从教学活动方式来看，符合多样性原则.案例中，在教师的组织下，学习共同体成员开展了方式多样的交互学习活动，比如：学生讲解、学生自评、生生互评、师生互评、教师评赏、教师追问、教师讲解等，打破了传统的“讲—练—讲—练”的方式，实现了信息的多向流动，有利于加深对信息的理解、重整、融合和内化.同时，交互学习过程中伴随着行为参与、认知参与和情感参与，有利于展示学生的解答思路、暴露认知缺点、优化认识结构、享受成果喜悦、实现主动建构.

从教学活动过程来看，符合系统性原则.本案例的实施中，设置了具有一定逻辑顺序的行为系列——5环节：成果展示——诱发冲突，针锋相对——思维碰撞，互评互助——达成共识，师生共建——教学相长，回顾反思——提升素养.5环节构成了一个系统的教学活动工程，每个环节为一个子系统，各子系统有序地按层级结构排列，且前一个子系统制约、影响着后一个子系统，后一子系统反过来制约着前一个子系统，既有程序的规定性、联系性，还有科学性.通过5环节螺旋上升、逐步推进，将交互学习活动推向了高潮.

从教学活动效果来看，符合有效性原则.有效教学指教师在达成教学目标和满足学生发展需要两方面都获得成功或表现俱佳的教学行为.［5］本案例中的教学行为是有效的，体现在学生和教师两方面.从学生方面来看成效显著：首先，学生的主体地位得到了确立，在整个交互学习活动中，平等的师生关系得以确立，交流对话的渠道畅通无阻，学生个性得到了张扬，长久压抑的情绪得以释放，成就感大大增强，可谓身心既健康又愉悦；其次，学生思维层面得到较大的发展，整个交互学习活动中学生经历了认识上的片面性—认知全面性—策略的优化—认知结构的完善—活动经验的丰富—数学素养的提升—数学思维的发展.从教师方面来看，交互学习中的教师既丰富了学生的知识、形成了技能、发展了情感，又促进了自我认识上的发展，真可谓教学相长.