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利用函数的奇偶性求函数值

2019-01-28成都市石室中学文庙校区刘祯颖

亚太教育 2018年5期
关键词:偶函数奇函数奇偶性

▍成都市石室中学(文庙校区) 刘祯颖

什么是函数的奇偶性?根据相关教材,有如下定义:

如果对于函数f(x),其定义域与原点对称,并且,对于定义域内的任意一个x,都有等式f (-x)=-f (x)[或f (-x)=f (x)]成立,那么函数f (x)就叫作奇函数(或偶函数)。

定义揭示了奇函数与偶函数的定义域是对称于原点的实数集。如果定义域不是关于原点对称的,则必不是奇函数也不是偶函数。因此,判断一个函数的奇偶性,应首先判断它的定义域是否关于原点对称,然后再判断f (-x)与f (x)的关系。

我们注意到,在定义中,我们使用的是等式f (-x)=-f (x)[或f (-x)=f (x)]来表示函数f (x)的对称关系。事实上,这两个等式还有一些相应的等价变形可供我们利用,如等等。解:(1)函数定义域是关于原点对称的。

(2)f (x)是周期函数,其周期可以通过将其变形求得。

(3)事实上,在本例中,关于等式f (-x)=-f (x)的验证,我们还可以以如下方式进行。

∴f (-x)=-f (x),∴f (x)为奇函数

解:显然,f (x)的定义域为对称区间。

∴f (-x)=-f (x),为奇函数。

利用上面的这些关系,我们往往可以非常简单地确定一个函数在某一点的值。

例 3:已知 f (x)=ax9+bx7+cx5+dx3+ex,且f(3)=7,求f (-3)=?

解:显然,由于f (x)中的系数a,b,c,d,e未知,且已知条件只有f (3)=7,要想通过求出a,b,c,d,e的值来求出f (-3)的值是很困难的。但注意到,f (x)的定义域为实数,关于原点对称,且式中各项的次数为奇数,据此可确定f(x)为奇函数,f (-x)=-f (x)

∴ f (-3)=-f (3)=-7

∴f (-x)=-f (x),∴f (x)为奇函数

∴ f (b)=-f (b)=-c

例5:已知f (x)为奇函数,在区间(-2,2)上单调递减,且 f (2+a)+f (1-2a)>0,求 a的范围。

解: ∵ f (2+a) + f (1-2a) > 0

∴ f (2+a) - f (1-2a) > 0

又 ∵ f (x)为奇函数,定义在(-2,2)上单调递减

∴ f (2+a) > - f (1-2a) = f (2a-1)

∴ 2+a < 2a-1 且 -2 < 2+a < 2,-2 < 2a-1< 2

此组不等式无解。故不存在满足条件的f (x)。

∵ f (x)的定义域为x≠0,关于原点对称,且

∴ f (x)为偶函数,∴ f (-1) = f (1) =1

综上所述,函数的奇偶性的有关表达式在碰到有关函数值的计算时,往往能够简化计算步骤,得到较好的结果。

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