一题多变在教学中作用

2019-01-26毛祚钦

考试周刊 2019年9期

摘要：本文对一题多变的概念、一题多变的作用进行分析，例如加深对知识的理解起到的作用；使学生更好地区分易错、易混淆的知识；激发学生学习热情；促进学生知识系统化；锻炼学生思维。在此基础上，希望能够给高中数学教学人员提供一些借鉴性，使高中教学模式处于积极的发展趋势中，促进学生思维能力的不断开发。

关键词：数学；一题多变；教学

高中数学的教学容易陷入题海之中，但在数学的课堂上，问题是不可或缺的元素。在课堂上问题是教学的灵魂、是教学的核心，提出问题和解决问题的能力更是高中生不可缺少的。如何在45分钟有限的课堂教学过程中更有效地设置问题，充分把高中数学课堂的效率提高？本文就一题多变在这方面所起的一些作用，依据个人在教学中积累的经验，谈一些个人的心得和观点。

一、一题多变的概念

一题多变，是通过变换题目中的条件，或更换题目中的数据，或更改题目中要求的或要证明的结论等，把一个问题进行演变，使得原本没有关系的不同问题，可以同时呈现，可以有机结合在一起。让学生感受到不同的数学问题之间是相互关联的，不同数学知识之间是有联系的。高中数学不是一门简单地将知识、问题堆砌在一起的学科。把一道问题进行变换后，学生不会处于思维定式的状态中，思维会处于多元化的发展模式中，学生会用不同的角度对一道题目进行多方位的较全面、更深入思考。最终，促使学生的思维呈现多样化的发展模式，学生将从固有的思维框架、思维模式中解脱出来，促进学生数学的思维方式的不断改进，促使学生的整体思维能力获得较大程度的提升。

二、一题多变在教学中的优势

（一）加深对知识的理解

一题多变具有十分重要的作用，在教师对数学题目进行不断变化的情况下，能加深学生对数学知识的理解，使学生能较好地掌握各种数学知识。在课堂上进行一题多变的训练，能够加深学生对数学知识的理解、加强学生对数学知识的记忆。

讲授导数的概念时，有这样的一个例题：已知函数y=x2+1，求在x∈[1，2]的平均变化率。这个例题可作下面改变：

变式① 已知函数y=x2+1，求这个函数在x0=1附近的平均變化率；

变式② 已知函数y=x2+1，求这个函数在区间[1，1+Δx]平均变化率；

变式③ 已知函数y=x2+1，求这个函数在x0=1处的瞬时变化率。

学生针对不断变化的问题进行逐步深入的思考，使学生对导数的概念有全面的了解，使学生对此部分知识点进行全面的深化，从而促进学生对导数的概念的全面理解。通过条件不变的前提下，改变出来三个问题，由简单到复杂，有旧知逐渐向新知过渡，符合学生认知规律，使学生对导数的认识更加深刻。

（二）促使学生知识体系更系统化

在课堂上进行一题多变的训练，可以把较分散的数学知识点串联在一起，把不同的数学知识联系在一起，有助于学生把纷繁复杂的数学知识形成知识网络、知识系统。

例如在线性规划的练习课上，有这样的一个例题：（2016·全国卷Ⅲ）若x，y满足约束条件x-y+1≥0，x-2y≤0，x+2y-2≤0，则z=x+y的最大值为。条件不做改变，所求的可作如下改变：变式① 求z=y-1x+1的最大值；变式② 求z=x2+y2的最大值；变式③ 目标函数z=y-ax（a∈R），若z取最大值时，唯一的最优解为1，12，求实数a的取值范围。通过对一道线性规划的高考题的改编，把线性规划问题中常见的线性目标、斜率目标、距离目标和含参数的线性规划问题整合在一起，使学生解决这个问题后，明确线性规划问题中有哪些知识点是要掌握的，使学生线性规划的知识形成体系。在教师把一道问题进行精心变换的情况下，学生解决这些问题的同时，对这个模块的数学知识进行了整合，促使学生对模块知识的消化吸收，从而更加系统地把握这块数学知识。

（三）锻炼学生的思维

把问题进行改造，增加问题的难度，从而使问题更加灵活，使问题更加富有挑战性，学生要在原问题的基础上更深入去理解与这个问题有关的数学知识，增加学生思考问题的深度和广度，使学生在问题解决的同时，拓宽了自己的知识面，开阔了自己的眼界，从而锻炼了学生的思维。

例如书本上有一道练习：已知点P（-1，2），一条光线经过点P照射到x轴后，反射光线经过点Q（3，5），问光线经过的最短路径是多少？变式：已知点P（-1，2），一条光线经过点P照射到直线l：y=x后，反射光线经过点Q（3，5），问光线经过的最短路径是多少。把点关于x轴对称问题，改变为点关于一般直线对称问题，使问题更一般化，锻炼了学生从特殊到一般的思维能力。

原问题：（2016昆明一中月考）点P是抛物线y2=4x上的动点，若点B（3，2），点F是抛物线的焦点，求|PB|+|PF|的最小值。

变式① 点P是抛物线y2=4x上的动点，若点B（3，2），直线l1是抛物线的准线，求点P到准线的距离与|PB|的和的最小值。

变式② 点P是抛物线y2=4x上的动点，若点B（3，2），点F是抛物线的焦点，求|PB|-|PF|的最大值。

变式③ 点P是抛物线y2=4x上的动点，直线l1是抛物线的准线，直线l2：3x-4y+24=0，求点P到直线l1与到直线l2的距离之和的最小值。

把动点到两定点距离和的最小值的问题，改变为动点到定直线与定点距离之和的最小值的问题，改变为动点到两定点距离之差的最大值的问题，改变为动点到两定直线距离之和的最小值问题，问题由简单逐渐复杂，但都是围绕着动点有关的距离展开，学生可以通过这些问题感受数学问题中的变与不变，使学生进一步深入理解：“在任意一个三角形中，其中三边中任意两边的和大于第三边，三边中任意两边的差小于第三边。”

在数学课堂上把好的题目，经过难度升级，延展有关知识，不仅可以很好锻炼学生思维，还有助学生更深入理解与之有关的数学知识。

（四）激发学生解决问题的兴趣

兴趣是学生的最好老师，课堂上教师如何激发学生探究问题的兴趣，吸引他们的注意力？在课堂上设置问题情境时，通过改造问题，让问题中融入实际生活中元素，使问题更有亲切感，拉近问题与学生之间的距离，也可以让问题增加趣味性元素，使学生可以从不一样的角度看待问题，从而激发学生解决问题的兴趣，更加积极投入课堂学习中。

例如在讲授线面垂直概念时，一般通过观察生活中的图片，归纳出线与面的位置关系。可改变为设置如下两个问题：

①请在不同的时间，观察并记录学校升旗的旗杆与它在地面上影子的关系，你能得到旗杆与地面有什么关系？

②观察当我们转动教室的门，门轴与门框所在的直线是什么关系，你能得到门轴与地面有什么关系？

这两个问题都是以生活中常见元素为背景，会使学生更认证观察，从而得到线要与面垂直，要垂直于面上任一条直线。

例如在讲授二分法时，可设置如下两个问题：

①在一个正方形的房间里发现了一只老鼠，请问怎么做能快速地找到老鼠？

②综艺节目中经常有这样的游戏：给一个商品，给一个商品价格所在的区间，如何在限定时间内快速猜出商品的价格？

这两个问题都是以生活为背景，学生通过联系生活经验可得到用二分法解决事半功倍。

在数学必修5等比数列前n项和是以这样一个故事引入：国际象棋起源于古代印度，国王要给象棋的发明者奖赏，问他想要什么奖赏，发明者说：“请在象棋的棋盘的第一个网格里放一粒小麦，在第二个网格里放两粒小麦，第三个网格里放四粒小麦，依此类推，每一个网格里的小麦的数量是前一个网格的两倍，直到64个网格全部放完。”问国王是否能滿足这位发明者提出的要求？也可以设置这样的一个有趣故事：一个大学数学教授经常被一个朋友嘲笑：他教的数学是毫无用处。

一天教授气不过跟这个朋友打一个赌：教授每一天给他朋友100元，连续给30天；他朋友第一天给教授1角，第二天给2角，第三天给4角，依此类推，以后每一天给的钱的数量是前一天的两倍。请问教授的朋友可以接受这个赌约吗？这个赌约中涉及两种数列的前n和，一个是等差数列，一个是等比数列，通过它们和的强烈反差的对比，吸引学生学习新知识的强烈的求知欲。最终使学生对数学知识的学习能力处于全面提升的状态中，提升学习的积极性，并喜欢上数学这门科目，积极地投入到数学学习活动中。

（五）更好区分易错、易混知识

在讲解习题时，有些问题学生经常会犯一些小错误，可以通过改变问题，让学生对错误原因有更深刻的理解，掌握好该知识点。

例如有这样的一道导数的问题：已知函数f（x）=x3-ax-1在（0，1）上单调递减，求实数a的范围。可作如下改变：已知函数f（x）=x3-ax-1，单调递减区间为（0，1），求实数a。

通过原题与变式比较，学生可以更好区分清楚，“在（0，1）上单调递减”与“单调递减区间为（0，1）”是不同的概念，后者整个函数只有一个减区间，前者这个区间只是函数的减区间之一或某个减区间的子区间。

含有参数的一元二次不等式的问题是高中数学教学中的难点，学生遇到这样的问题总是不知道根据什么进行分类讨论，如何通过问题向学生展示比较全面的分类讨论的方法及依据？有这样的一个问题：解关于x的不等式x2-ax-2a2<0（a∈R）。可作如下改变：

①解关于x的不等式ax2-（a+1）x+1<0（a∈R）。

②解不等式x2-x+a<0（a∈R）。

原题可因式分解得到相应方程的两根，根据两根的大小关系进行讨论；

变式①中二次项的系数是参数a，要对a>0、a=0、a<0进行分类讨论；

变式②要根据判别式Δ>0、Δ=0、Δ<0进行分类讨论。

通过这三个问题，向学生展示了如何对含参一元二次不等式进行讨论，使学生能更好区分不同情况下如何对参数进行讨论。

总之，一题多变作为一种常规教学方式，在课堂上运用好了，会提高课堂效率，提升学生学习效果，提升学生读题、解题能力，培养学生的数学素养。