赵颖玥，罗阿理

白矮星是银河系绝大部分恒星的最终归宿，银河系中97%的恒星最终演化成白矮星。白矮星由于内部停止了核反应，演化非常简单，就是不断地冷却，温度越来越低，光度越来越暗，最后变成一颗黑矮星。根据光谱型，白矮星可以分为DA、DB、DC、DO、DZ、DQ等类型[1]，其中DA白矮星最多，大约占总数的75%。由于白矮星光度低，观测相对困难，特别是获得白矮星的光谱尤其困难。在斯隆数字巡天[2]之前，最大的光谱证认的白矮星星表是文[3]在1999年发布的，总数仅有2 000颗。在他们的星表里仅提供了白矮星的位置、星等、视差和自行等信息，由于光谱分辨率比较低，没有提供白矮星的大气参数。斯隆数字巡天使得光谱证认的白矮星的数量增长了10倍以上。文[4]在SDSS DR4中证认出9 000多颗白矮星；文[5]在SDSS DR7中证认出20 000多颗白矮星；文[6]在SDSS DR10中也发现了9 000多颗新的白矮星。目前光谱识别的白矮星样本已经超过30 000个，这对研究白矮星的统计特性提供了数据基础。

运动学可以帮助我们理解白矮星的星族归属，因此白矮星的视向速度测量非常重要。白矮星的视向速度测量相对较少，主要原因是以前的白矮星光谱的信噪比和分辨率较低。早期的白矮星运动学研究主要依靠白矮星的自行，而简单地把视向速度设置为0[7]。文[8-9]首次比较精确地测量白矮星视向速度，但是他们的白矮星光谱分辨率比较高。测量低分辨率DA白矮星光谱的视向速度是一个相对困难的工作。DA白矮星光谱的特点是在光学波段由较宽的氢线和连续谱构成，另外由于斯塔克(Stark)效应，氢线的轮廓不对称[10]，这使得线心法估计白矮星的视向速度误差较大。为了得到低分辨率白矮星光谱的视向速度，本文介绍了一种基于白矮星参数选取模板光谱，通过相关方法获得DA白矮星的视向速度。由于白矮星除了多普勒效应外，还有引力红移效应，将总体效应称为白矮星的APP速度。

1 基于白矮星参数确定模板的交叉相关方法确定DA白矮星的APP速度

1.1 DA白矮星光谱

DA白矮星光谱特征明显，较好辨认，尤其是高温白矮星。图1(a)展示了1颗典型的白矮星和1颗主序星的光谱。绿色实线是主序星的光谱，黑色实线是白矮星的光谱。白矮星的4条氢线Hα，Hβ，Hγ和Hδ用黑实线标出。可以看出DA白矮星光谱的特点是谱线非常少，仅有几条比较强的氢线，而且线特别宽。两条光谱具有相同的分辨率，主序星的氢线要比对应的白矮星氢线窄很多。如果仅凭借一条氢线估计APP速度，宽线的线心不容易确定，误差相对较大，因此用氢线线心估计白矮星的APP速度精度较低。

图1(b)展示了白矮星的4条氢线的放大图。从上到下分别是Hα，Hβ，Hγ和 Hδ。4条线都表现出轮廓的非对称性，这是由Stark效应产生的[10]。Hα相对好一些，Hβ，Hγ和Hδ呈现明显的轮廓不对称。这对利用线心估计APP速度造成了一定的困难。

图1 (a)绿色实线是一颗主序星光谱，黑色实线是一颗白矮星光谱，其中4条氢线在下方标出；(b)白矮星光谱的4条氢线的放大显示Fig.1 (a)Green solid line represents the spectrum of a Main Sequence star while the black solid line is the spectrum of one white dwarf star.Hα、 Hβ、 Hγ、 and Hδ are marked with short solid lines；(b)the zoomed Hα、 Hβ、 Hγ、 and Hδ lines

1.2 模板匹配和交叉相关方法计算DA白矮星的APP速度

计算APP速度的方法主要有两种：(1)利用多条谱线的线心估计；(2)利用模板光谱基于交叉相关估计[11]。由于白矮星的光谱特点，线心方法不能得到准确的速度，所以利用基于模板光谱的交叉相关方法估计视向速度。

利用白矮星的理论光谱作为模板光谱。理论光谱是文[12]计算的。整个模型光谱库的有效温度从5 000 K到80 000 K，表面重力加速度从7.0到9.5。

为了得到准确的APP速度，首先要从模型光谱库中选出最适合的模板光谱。这里说的适合，就是选出的模板光谱要和目标光谱具有较一致的大气参数，即相近的有效温度和表面重力加速度。

模板匹配过程如下：首先对模型光谱和观测光谱进行重新采样，间隔为0.01 nm，根据DA光谱的特点，在没有谱线的位置选出8个连续谱窗口(3 862，3 939，4 035，4 219，4 490，4 693，5 025，5 254)。在这8个窗口计算每一条理论光谱和观测光谱的流量比，然后拟合流量比和波长的5阶多项式函数。随后整条理论光谱和这个多项式相乘并计算和观测光谱的卡方差。最小卡方差对应的理论光谱作为最终选取的模型光谱。

选出模型光谱后，用交叉相关方法估计白矮星的APP速度。流程如下：

首先设定最小速度Vmin，最大速度Vmax和速度增量Vdelt。然后从最小速度开始，目标光谱进行相应的移动后和模板光谱计算相关系数，然后增加一个速度增量继续计算，一直到最大速度，这样就建立了相关系数和速度的关系，也就是相关函数。接下来寻找相关函数的最大值，最大值对应的速度就是最终计算得到的APP速度。

1.3 方法测试

利用模拟光谱测试方法的可靠性，模拟光谱的生成是在理论光谱的基础上增加噪音，形成一定信噪比的光谱。然后再假设一定的APP速度，进行相应的移动，作为一个模拟光谱。随后利用1.2节中的方法对这些模拟光谱进行APP速度的测量，图2展示了对信噪比为20的模拟光谱进行测试的结果。

图2 测试样本的误差和温度的关系Fig.2 Relation between the error and the effective temperature

图2中，从左上角到右下角展示了APP速度为80 km/s～-80 km/s的模拟光谱的测试结果。横坐标表示有效温度，纵坐标表示速度的误差。每一幅图表示一条误差随温度变化的曲线。总的来看，误差在低温区相对较大。从5 000 K到9 000 K，误差呈现下降趋势，在5 000 K时误差最大。而且总体误差和速度本身有关。速度绝对值越大，误差相对越大。对于有效温度高于10 000 K的光谱，白矮星的速度误差小于10 km/s。

2 对观测样本进行APP速度测量

利用上文介绍的方法对SDSS DR7[13]中的DA白矮星样本进行了APP速度测量。这个样本共包含2万多颗白矮星，并且提供了白矮星的有效温度、表面重力加速度、质量等信息。其中信噪比大于20的DA白矮星2 000多颗。图3展示了对一颗DA白矮星进行APP速度测量的例子。实线表示相关系数相对于APP速度的函数，虚线是最大相关系数对应的速度值。这个速度就是计算得到的这颗白矮星的APP速度。

图3 计算一颗白矮星APP速度的相关函数，横坐标是速度序列，纵坐标是相关系数。虚线是最大相关系数对应的速度值Fig.3 The correlation function of APP velocity measurement for a DA white dwarf.Dashed line indicates the position of max correlation coefficient

2.1 白矮星的引力红移计算

在计算APP速度之前，首先计算白矮星的引力红移。公式如下：

其中，M为白矮星的质量；log g为白矮星的表面重力加速度；R为白矮星的半径；log g⊙为太阳的表面重力加速度，这里取4.44。这个公式来自于万有引力公式的变换：

其中，M为白矮星的质量；R为白矮星的半径；Vg为白矮星的引力红移。这个公式来自于文[14]。

首先根据白矮星的质量利用(1)式计算白矮星的半径，然后根据(2)式估计白矮星的引力红移。图4(a)显示了这个样本的引力红移和视向速度的分布，可以看出引力红移主要分布在10～80 km/s。大部分集中在30 km/s附近。这也和白矮星的质量主要分布在0.6倍太阳质量一致。

2.2 白矮星的视向速度测量

对于这2 000个白矮星样本，测量了它们的APP速度。APP速度和引力红移之差就是白矮星的视向速度。图5展示了确定白矮星模板光谱的例子。红色虚线为相对于观测光谱(黑色实线)符合最好的模板光谱，这个模板光谱用来计算白矮星的APP速度。图4(b)展示了白矮星的视向速度和日心距离的关系。我们统计了日心距离在1 000 pc范围内的视向速度的平均值和弥散，共分了10个区间，间隔为100 pc。矩形框表示每一个区间内视向速度的平均值，速度弥散用误差棒的形式表示。可以看出，日心距离在100 pc和1 000 pc之间，视向速度平均值在0附近。这也证实了以前对白矮星的视向速度假设为0是合理的。

图4 (a)整个观测样本的白矮星的引力红移和视向速度的关系；(b)观测样本中白矮星的视向速度和日心距离的关系，绿色虚线表示视向速度为0的线，紫色矩形框表示某一日心距离范围内的视向速度的平均值及其弥散Fig.4 (a)relation between the gravitational redshift and the radial velocity；(b)relation between the radial velocity and the distance.Rectangles represent the average radial velocity with a distance bin

图5 观测光谱和理论模型光谱拟合的一个例子。黑色实线为观测的光谱，红色虚线为相应的匹配最佳理论光谱Fig.5 An example for fitting between the observed spectrum and the theoretical spectrum.Black solid line represents the observed spectrum while the red dotted line is the theoretical spectrum

3 结 论

基于白矮星参数选取模板进行匹配来测量DA白矮星的视向速度，对于有效温度高于10 000 K的DA白矮星，能够得到较准确的视向速度，精度在10 km/s以内。通过对2 000多颗高信噪比白矮星的视向速度分析发现，视向速度平均值整体趋向于0，这表明以前的研究在计算白矮星的运动学信息中假设白矮星的速度为0是比较合理的。

致谢：感谢国家天文台的梁熙龙博士对本文的评论和建议。