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饱和土中夹水混凝土复合式隔振屏障的隔振分析

2019-01-23徐长节丁海滨童立红郭生根

振动与冲击 2019年1期
关键词:入射波衰减系数无量

徐长节, 丁海滨, 童立红, 王 宁, 郭生根

(1.华东交通大学 江西省岩土工程基础设施安全与控制重点实验室,南昌 330013;2. 浙江大学 滨海和城市岩土工程研究中心,杭州 310058; 3. 江西省港务管理局,南昌 330000)

工程施工引起的振动(如:强夯、打桩等)对邻近建筑物及地下管线等周围环境的危害不容忽视。实际工程中采用较多的隔振屏障有空沟、填充沟、排桩等,这些隔振屏障施作方便且减震效果较为明显。

针对此类问题国内外已经取得了较为丰富的研究成果。Stoll等[1]基于Biot多孔弹性介质理论,建立了波由饱和土入射至水层的计算模型,研究了渗透系数及波的入射角对波的反射及透射系数的影响。Wang等[2-4]建立了深水作用下饱和多孔介质及基岩的计算模型,研究了饱和度、渗透性及入射角对动水压力的影响。陈炜昀等[5]给出了非饱和土中不同弹性波的传播方程,研究了入射剪切波在不同饱和度界面上的反射与透射问题。徐平等[6]考虑了土颗粒及孔隙流体的压缩性,研究了P波由准饱和土入射到弹性土层时在界面上的反射及透射系数的变化情况,并分析了饱和度对反射及透射系数的影响。叶陈江等[7]从实际工程出发推导出了不同边界条件下S波由饱和土入射到弹性波时,界面上反射与透射的一般计算公式。俞缙等[8]基于节理非线性位移不连续模型,分析了不同弹性纵波正向入射多条节理时的透射规律。Woods[9]对混凝土板的主动及被动隔振效果进行了现场实验研究,并提出填充沟屏障隔振设计的基本原则。Haupt等[10]通过实验研究了填充沟的几何尺寸、材料等参数对隔振效果影响。朱兵见等[11]提出了一种适用于弹性波问题的有限元-无限元法对饱和土地基中空沟主动隔振效果进行了探究,并分析了空沟深度对隔振效果的影响。时刚等[12]基于饱和多孔介质频域边界元法,推导出了填充沟对Rayleigh波散射的二维边界元方程,并对刚性填充沟的隔振问题进行了详细的分析。袁万[13]采用2.5维有限元法建立了饱和土地基中空沟分析模型,研究了空沟的隔振效果。徐平等[14]运用复变函数的保角映射法及波函数展开法,求解出多排桩屏障对压缩波隔离的解析解,并分析了单排、双排及三排桩的隔振效果。以往在单层同一材料的隔振屏障研究较多,而在复合隔振屏障中的研究较少。

本文建立了饱和土中夹水混凝土复合隔振屏障计算模型,通过引入势函数并考虑饱和土与混凝土及混凝土与水交界面的连续性条件,从理论上对隔振屏障的隔振效果进行了研究,得出一般性结论,以期为工程中隔振屏障的设计提供参考。

1 计算模型及入射波函数

如图1所示,饱和土层中的复合隔振屏障由两层层厚为a的混凝土及夹在两层混凝土层中宽度为b的充满水的水沟组成,混凝土、水沟深度远大于入射波波长。饱和土中复合隔振屏障为无限长连续结构,因此,本文问题可简化为平面问题。

假设平面P1波以角度θa入射到左边混凝土层的左边界,入射波函数如下[15]

φi=φ0Exp[i(ωt-kxx-kp1yy)]

(1)

图1 计算模型简图

2 介质中波场求解

2.1 饱和土中波场求解

由Biot[16]饱和多孔介质理论可知,饱和土中土骨架和流体波动方程为

(2)

式中:u,w分别为饱和土中土骨架位移和流体相对于土骨架位移;ρ=(1-n0)ρs+ρf,ρ为饱和土平均密度,ρs为土颗粒密度,ρf为流体密度,n0为孔隙率;η为空隙间流体的黏滞系数;k渗透系数;μ,λ为土骨架的Lame常数;α,M为Biot参数。

根据Helmholtz分解定律可知,位移可表示成如下形式

u=▽φs1+▽×Ψs1,w=▽φs2+▽×Ψs2

(3)

式中:φs1,φs2分别为土骨架和流体中标量势函数;Ψs1,Ψs2分别为土骨架和流体中矢量势函数。

由文献[2]可知,反射波势函数通解为

反射P1波φs1a=An1Exp[i(ωt-kxx+kp1yy)]

反射P2波φs1b=An2Exp[i(ωt-kxx+kp2yy)]

反射SV波Ψs1=Bn1Exp[i(ωt-kxx+ksyy)]

因此,饱和土中总波场表达式为

(1) 土骨架中

φs1=φs1a+φs1b+φi

Ψs=Ψs1

(4a)

(2) 流体中

φf1=ξ1(φs1a+φi)+ξ2φs1b

Ψf=ξ3Ψs

(4b)

式中:ξ1,ξ2,ξ3分别为流体中势函数与土骨架中势函数的比值

同理可得出右边饱和土中,透射波场势函数表达式如下

透射P1波φs2a=Hn1Exp[i(ωt-kxx-kp1yy)]

透射P2波φs2b=Hn2Exp[i(ωt-kxx-kp2yy)]

透射SV波Ψs2=In1Exp[i(ωt-kxx-ksyy)]

(1) 土骨架中

φs2=φs2a+φs2b

Ψs=Ψs2

(5a)

(2) 流体中

φf2=ξ1(φs2a+φi)+ξ2φs2b

Ψf=ξ3Ψs

(5b)

式中:ξ1,ξ2,ξ3同式(4)。

2.2 混凝土中波场求解

由文献[17]可知,弹性介质中波动方程为

σij=2μcεij+λcδijε

(6)

式中:uc为混凝土介质位移;ρc为混凝土密度;λc,μc为混凝土结构的拉梅常数。

同样,衬砌中位移可用势函数表示为

uc=▽Φc+▽×Ψc

(7)

式中:Φc,Ψc分别为混凝土中标量势函数及矢量势函数。

由此可得左边混凝土及右边混凝土中势函数表达式如下

(1) 左边混凝土中

界面1的透射P波及界面2的反射P波势函数

透射P波Φc1a=Cn1Exp[i(ωt-kxx-kcpyy)]

反射P波Φc1b=Cn2Exp[i(ωt-kxx+kcpyy)]

界面1的透射SV波及界面2的反射SV波势函数

透射SV波Ψc1a=Dn1Exp[i(ωt-kxx-kcsyy)]

反射SV波Ψc1b=Dn2Exp[i(ωt-kxx+kcsyy)]

由此可知,混凝土1中势函数为

Φc1=Φc1a+Φc1b

Ψc1=Ψc1a+Ψc1b

(8)

(2) 混凝土2中

界面3的透射P波势函数Φc2a及界面4的反射P波势函数Φc2b

透射P波Φc2a=Fn1Exp[i(ωt-kxx-kcpyy)]

反射P波Φc2b=Fn2Exp[i(ωt-kxx+kcpyy)]

界面3的透射SV波势函数Ψc2a及界面4的反射SV波势函数Ψc2b

透射SV波Ψc2a=Gn1Exp[i(ωt-kxx-kcsyy)]

反射SV波Ψc2b=Gn2Exp[i(ωt-kxx+kcsyy)]

Φc2=Φc2a+Φc2b

Ψc2=Ψc2a+Ψc2b

(9)

2.3 水中波场求解

由文献[17]可知,理想流体的波动方程为

(10)

引入势函数Φw,则位移可表示为

uw=▽Φw

(11)

式中,Φw为水中P波势函数。

由此可知,界面3的透射P波势函数Φw1及界面4的反射P波势函数Φw2

透射P波Φw1=En1Exp[i(ωt-kxx-kwpyy)]

反射P波Φw2=En2Exp[i(ωt-kxx+kwpyy)]

由此可知水中势函数为

Φw=Φw1+Φw2

(12)

3 边界条件及待定系数求解

(13a)

(13b)

(13c)

(13d)

假设饱和土与混凝土边界处为不透水边界,即在边界处的孔隙水压力在y方向的水力梯度为0[18],因此:

当y=0和y=2a+b时,∂Pf/∂y=0

(13e)

式中:σs1y、σc1y、σs2y、σc2y、σs1xy、σc1xy、σs2xy、σc2xy分别为饱和土及衬砌法相和切向应力;us1y、uc1y、us2y、uc2y、us1xy、uc1xy、us2xy、uc2xy分别为饱和土及衬砌法向及切向应力;σwy、uwy为水中y方向应力及位移。

依据饱和土、混凝土及水的本构方程,可以得出饱和土、混凝土及水中位移及应力与势函数的表达式如下

(1) 饱和土中

(14a)

(2) 混凝土中

(14b)

(3) 水中

(14c)

将饱和土、混凝土及水内势函数表达式,代入式(14)中,并利用边界条件(13),即可得出势函数中16个待定系数的表达式形式

AXT=Y

(15)

式中:A=[aij]为16×16的系数矩阵(具体表达形式见附录)。X为1×16的待定系数矩阵,Y为16×1的矩阵(表达式见附录)。

通过求解矩阵即可得出势函数表达式中各待定系数值。

4 计算结果与分析

采用振幅衰减系数η来衡量屏障隔振效果,其定义为

(16)

式中:u1x为未设置隔振屏障时,仅由入射波引起的竖向位移幅值;u2x为设置隔振屏障后竖向位移幅值;η为竖向位移比值,η越小说明屏障的隔振效果越好。

为研究隔振屏障隔振效果时,混凝土厚度及水宽采用无量纲参数表示,即:混凝土无量纲厚:R=a/λc(λc为饱和土中P入射波波长);水宽无量纲:W=b/λc。

饱和土及水参数如下:土骨架密度ρs=2 650 kg/m3,流体密度ρf=1 000 kg/m3,孔隙率n0=0.3,泊松比ν=0.3,弹性模量20 MPa,渗透系数k=1.0×10-8,流体黏滞系数η=2.0×10-3Pa·s,Biot参数α=0.978,M=6×108Pa,水体积模量Kf=2.15×109Pa。混凝土材料参数如下:密度ρsd=2 700 kg/m3,弹性模量30 GPa。

图2为分别改变W及R时,振幅衰减系数随入射波入射角的变化,由图可知,在入射角较小时,振幅衰减系数有先增后减的趋势;入射角在14°左右隔振屏障的隔振效果最差,随入射角的增大振幅衰减系数在小区域内有增加的趋势,但总体处于逐渐减小状态,屏障隔振效果逐渐变好,且R及W越大隔振效果越好。由此可知,隔振屏障的隔振效果与入射波的入射角及混凝土无量纲厚度与水层无量纲宽度有关,且入射波垂直入射时屏障的隔振效果达到95%以上。

图3为入射波以入射角为0°(垂直入射)及30°入射到混凝土边界时,振幅衰减系数随R及W的变化曲线,由图3(a)可知,垂直入射时屏障的隔振效果随R及W的增加,隔振效果先变弱后增强,整体隔振效果在96%以上。由图3(b)可以看出,在R及W较小时,振幅衰减系数随R及W的增加而增加,当R及W达到一定值后,振幅衰减系数会逐渐减小,直至趋向于0,入射角为30°时,屏障整体隔振效果70%以上,且R=1及W=0.3时,振幅衰减系数已基本趋向于0。

(a) 混凝土无量纲厚度R相同

(b) 水层无量纲宽度W相同

(a) 入射角θα=0°

(b) 入射角θα=30°

Fig.3 The variation ofηwith non-dimensional thickness of concrete and non-dimensional width of water-course

图4为入射角为0°及30°时振幅衰减系数随混凝土弹性模量及泊松比的变化,由图4(a)可知,垂直入射时隔振屏障隔振效果达到97%以上,且随弹性模量的增加隔振效果减弱;图4(b)可以看出,屏障隔振效果在85%以上,随混凝土弹性模量及泊松比的增加隔振效果逐渐增强,且混凝土的弹性模量对振幅衰减系数影响较大,而泊松比对振幅衰减系数的影响很小,由此可知,采用弹性模量较大的混凝土隔振效果更为明显。

(a) 入射角θα=0°

(b) 入射角θα=30°

图5分别为入射角为30°时改变W及R时,振幅衰减系数随入射波频率的变化曲线,由图5(a)可知,R不变情况下,振幅衰减系数随入射波频率的增加而减小,且W越大则振幅衰减系数越小;图5(b)可以看出,W不变情况下,振幅衰减系数在R=0.4、0.6时,随入射波频率的增加而减小,R=0.2时,随入射波频率的增加振幅衰减系数先增大后逐渐减小。由此可知,随入射波频率的增加振幅衰减系数基本呈现下降的趋势,混凝土层厚及水层宽度越大,则振幅衰减系数越小。

5 结 论

本文构建了饱和土中夹水混凝土复合隔振屏障计算模型,通过引入势函数并利用饱和土与混凝土及混凝土与水交界面的连续性条件,求解了隔振屏障隔振效果的解析解,并分析了混凝土无量纲厚度、水层无量纲宽度、混凝土弹性模量和泊松比及入射波频率对隔振效果的影响,得出如下结论:

(1) 屏障的隔振效果与入射波的入射角有关,且入射角在14°左右时,屏障的隔振效果最差,之后随入射角的增大,隔振效果总体越来越好。

(2) 入射角为0°时,屏障的隔振效果随混凝土无量纲厚及水层无量纲宽度的增加,隔振效果先变弱后增强,整体隔振效果在96%以上。入射角为30°时,随混凝土无量纲厚及水无量纲宽的增加,隔振效果先增加后减小,在混凝土无量纲厚为1及水无量纲宽0.3时,振幅衰减系数已基本趋向于0。

(a) 混凝土无量纲厚度R相同

(b) 水层无量纲宽度W相同

(3) 入射角为0°时,随混凝土弹性模量及泊松比的增加,屏障隔振效果降低,而入射角为30°时,随混凝土弹性模量及泊松比的增加,屏障隔振效果增强,且弹性模量对振幅衰减系数影响更为明显,因此建议选择弹性模量较大的材料作为隔振屏障。

(4) 随入射波频率的增加,振幅衰减系数基本呈现下降的趋势,混凝土层厚及水层宽度越大则屏障隔振效果越好。

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