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利用导数解决数学问题

2019-01-18

新教育时代电子杂志(学生版) 2018年14期
关键词:增函数切线极值

(江门市江海区外海中学 广东江门 529000)

导数是一个特殊的函数,它的引出和定义始终贯穿着函数思想,它给高中数学增添了新的活力,特别是导数广泛的应用性,为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法,为我们展现出了一道亮丽的风景线,也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点.这几年的高考命题趋势表明:导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”,成为分析问题和解决问题的重要工具.将导数与传统内容结合,不仅能加强能力的考查力度,而且也使试题具有更广泛的实践意义.

题型一:导数与恒不等式

例:已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)= a.b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围。

解法一: 由f(x)= a .b得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+ tx+ t,则f/(x)= -3x2+ 2x+ t,若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f/(x)≥0。所以f/(x) ⇔t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立。

故t的取值范围是t≥5。

解法二: 由f(x)= a .b得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+ tx+ t,则则f/(x)= -3x2+ 2x+ t,若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f/(x)≥0。

因为f/(x)= -3x2+ 2x+ t的图象是开口向下的抛物线,所以当且仅当f/(1)= t-1≥0,且f/(-1)= t-5≥0时,f/(x)在(-1,1)上满足f/(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数。

故t的取值范围是t≥5。

启思:考察导数与二次函数知识点的综合应用,在解题过程中,对恒不等式的理解是解题的关键。

变式题:

已知函数f(x)=x3-tx-1(1)若f(x)在R上单调递增,求t的取值范围。(2)是否存在实数t,使f(x)在(—1,1)上单调递减,若存在,求出t的取值范围;若不存在,请说明理由。

题型二:导函数的极值与分类讨论

例:设函数f(x)= 2x3-3(a+1)x2+ 6ax+ 8。(1)若f(x)在x= 3处取得极值,求常数a的值;(2)若f(x) 在(—∞,0)上为增函数,求a的取值范围。

解:(1)f/(x)= 6x2-6(a+1)x+ 6a=6(x-1)(x-a).

因为f(x)在x= 3处取得极值,所以f/(3)= =6(3-1)(3-a)=0。解得a=3。

经检验知当a=3时,x= 3为f(x)的极值点。

(2)令f/(x)= 6(x-1)(x-a)=0得x1=a,x2=1.

当a<1时,若x∈(—∞,a)∪(1,+∞),则f/(x)>0,所以f(x)在(—∞,a)和(1,+∞)上为增函数。故当0≤a<1时,f(x) 在(—∞,0)上为增函数。

当a≥1时,若x∈(—∞,1)∪(a,+∞),则f/(x)>0,所以f(x)在(—∞,1)和(a,+∞)上为增函数。从而f(x)在(—∞,0)上也为增函数。

综上所述,当a∈ [0,+∞)时,f(x) 在(—∞,0)上为增函数。

启思:当给定函数含有字母参数时,分类讨论常常难于避免,不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同,应注意分类原则和讨论的准确性。

变式题:

已知函数f(x)=x3+3bx+2c,若函数f(x)的一个极值点落在x轴上,求b3+c2的值。

题型三:导函数与转化的思想方法

例:曲线y=f(x)= ax3+bx2+cx,当x=1—时,f(x)有极小值,当x=1+时有极大值,且在x=1处切线的斜率为。(1)求f(x);(2)曲线上是否存在一点P,使得y=f(x)的图象关于点P中心对称?若存在,请求出点P的坐标,并给出证明;若不存在,请说明理由。

解:y=f(x) = ax3+bx2+cx在x=1—时,f(x)有极小值,当x=1+时有极大值,所以f/(1±)=0即1±为3ax2+2bx+c=0的两根。

(2)设存在P(x0,y0),使得f(x)的图象关于点P中心对称,则

f(x0+x)+ f(x0-x)=2y0。即

因为对于任意x∈R等式都成立,

启思:本题是函数解析式、导数、解析几何中的点对称等内容的综合应用,而把导函数转化相应函数知识点是关键,解题的整个过程中也充满了分析和推理,需要有较强的问题解决能力和综合素质。

变式题:已知函数y=f(x)= ax3+bx2-3x在x =±1处取到极值。(1)求f(x)的解析式;(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程。

利用导数解决数学问题无论是对于学生的知识能力的要求还是意志品质的要求都比较高,在考试有限的时间内完成也不是容易的事情,所以对于这类题问题,在教学的过程中除了要加强训练,还要注意培养学生解题能力和良好的心理素质。

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