盛秀兰郝宗艳吴宏伟

(1.东南大学数学学院,江苏南京 210096)

(2.江苏开放大学通识教育学院,江苏南京 210036)

1 引言

本文研究如下一维非线性Klein-Gordon方程Neumann的边值问题的数值解

其中α>0为常数,f(x,t),g(u)为满足相容性条件的光滑函数.

Klein-Gordon方程是相对论量子力学和量子场论中用于描述零自旋粒子的自由运动方程,关于它的数值解法已有不少研究结果.文献[1]基于样条基函数提出了一个数值格式;四阶紧格式在文献[2]中进行了研究;基于变分迭代法的数值格式及边界元方法可参见文献[3,4];在文献[5]中导出了以三层样条差分格式逼近非线性Klein-Gordon方程;无界域上的问题的数值研究可参见文献[6];文献[7]中提出了一个基于有限差分和匹配法的新的数值格式;而文献[8]提出了微分积分法.所有这些文献中的研究都是针对Dirichlet边界条件,对于Neumann边界条件下的高阶差分格式还没有很好的结果.近年来,具有Neumann边界条件的热方程的高阶差分格式已有一些研究结果如文献[9–11].文献[12]研究了Cahn-Hilliard方程Neumann边界条件下的三层线性化紧格式;文献[13]中建立了哈密尔顿非线性波方程Neumann边界条件下的高阶显格式,该方法空间方向基于紧格式,时间方向基于Runge-Kutta-Nystrom方法.通过分析以上文献,了解到Klein-Gordon方程Neumann边值问题的无条件稳定的高阶差分格式,目前还没有这方面的结果,其主要困难是边界点的处理.本文利用Klein-Gordon方程及边界条件可得到在边界处的三阶导数和五阶导数的函数值,从而建立边界点和内点处的两点和三点紧差……