买买提艾力喀迪尔

(喀什大学数学与统计学院,新疆喀什 844006)

1 引言

设G是一个局部紧的Abel群,是其共轭群.假设Ω⊂G具有正有限Haar测度的Borel可测集合,称Ω是一个谱集如果存在G的一个连续特征的集合Λ⊂,使得组成平方Haar-可积可积函数空间L2(Ω)的一个正交基.集合Λ称为Ω的一个谱,(Ω,Λ)称为谱对.我们说一个集合Ω平移地tileG,如果存在一个集合T⊂G使得集族{Ω+t}t∈T构成G的一个划分(除了零测集外).该集合T称为Ω的一个tiling集或者一个平移集,(Ω,T)称为一个tiling对.

当G=Rd时,关于谱集和tile的关系Fuglede[1]提出如下的猜想.

谱集猜想一个具有正有限Lebesgue测度的Borel集Ω⊂Rd是一个谱集当且仅当它是一个平移tile.即存在一个集合Λ使得(Ω,Λ)是一个谱对当且仅当存在一个集合T使得(Ω,T)是一个tiling对.

在任何局部紧的Able群G上可以考虑广义Fuglede猜想:一个正有限Haar测度的Borel集Ω⊂G是谱集当且仅当它是一个平移tile.甚至在有限群上也可以讨论该猜想[2].

我们可以考虑如下的对偶谱集猜想:设Λ⊂G,则Λ是一个谱当且仅当Λ一个tiling集.即存在一个集合Ω使得(Ω,Λ)是一个谱对当且仅当存在一个集合Ω0使得(Ω0,Λ)是一个tiling对.

在欧式空间Rd对于这一谱集猜想的研究取得了一些局部性的结果(见文献[1,3,4]).谱集猜想提出来30年以后,直到2004年菲尔兹奖得主陶哲轩[5]在维数大于等于5的时候构造了一个反例说明谱集未必是tile.现在这些反例的维数降低到d≥3[6,7].至今,谱集猜想在一维或者二维空间上是否成立仍然是一个公开问题.

另一方面,文献[8]研究了Rd上的单位正方形的所有谱的结构,文献[9,10]证明了R上的谱集的……